In diesem Modul werden die Kraftgesetze und die Bewegungsgleichungen des Feder-Masse-Modells hergeleitet. Nach Durcharbeiten dieses Moduls sollen die Bewegungsgleichungen eigenständig hergeleitet werden können.

Unter folgendem Link können weitere Beschreibungen (auf Englisch) gefunden werden, inklusive Beschreibung des Gangzyklus, Bewegungsgleichung, Energie- und Leistungsberechnung: Beschreibung des Feder-Masse-Modells

Federn können lineare, sowie progressive und degressive Kraft-Längen-Funktionen besitzen. Wir beschränken uns hier auf den einfachen linearen Fall. Die erzeugte Kraft F ist somit proportional zur Differenz zwischen Ruhelänge L0 und aktueller Länge L. Die Proportionalitätskonstante ist die Federsteifigkeit $k$.

;#; $ F = -k(L_0-L) $ ;#;

Das Vorzeichen wird hierbei so gewählt, dass die wirkende Kraft der Längenänderung entgegenwirkt.

Die Beinlänge wird in der Standphase wie folgt berechnet:

;#; $ L = \sqrt{x^2+y^2} $ ;#;

Der Ursprung des Koordinatensystems liegt hierbei im Fußpunkt.

Wir betrachten die Bewegung in der Sagittal-Ebene, da dies die Hauptbewegungsebene ist. Wir können somit die Bewegung auf den zwei-dimensionalen Fall ($x$-$y$-Ebene) reduzieren. Die wirkende Kraft wird somit in $x$ und $y$ Richtung aufgeteilt.

Vorbemerkung: In der Physik werden zeitliche Ableitungen $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} $ mit einem hochgestellten Punkt abgekürzt. Wird zweimal nach der Zeit abgeleitet, wird dies mit einem hochgestellten Doppelpunkt abgekürzt. In diesem Fall wird die horizontale bzw. vertikale Geschwindigkeit $ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} $ mit $ \dot{ x} $ und $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} $ mit $ \dot{ y} $ sowie die horizontale bzw. vertikale Beschleunigung $ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t } \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} $ mit $ \ddot{ x} $ und $ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t } \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} $ mit $ \ddot{ y} $ abgekürzt. Wie im Modul zu den Newtonschen Gesetzen bereits beschrieben, ist die Beschleunigung proportional zur wirkenden Kraft (2. Newtonsches Axiom). Der Proportionalitätsfaktor entspricht der zu bewegenden Masse $m$.

;#; $\vec{F} = m\begin{pmatrix}\ddot{x} \\\ddot{y}\end{pmatrix} $ ;#;

Rennen: Während des Rennens findet ein wiederkehrender Wechsel zwischen Flug- und Kontaktphase statt. In der Kontaktphase ist immer nur ein Bein im Kontakt mit dem Boden. Das andere Bein schwingt nach vorne. Daher ist es für die Bestimmung der auftretenden Kräfte ausreichend, nur ein Bein zu betrachten.

Flugphase: In der Flugphase folgt der Massenpunkt einer ballistischen Flugbahn (siehe Modul KIN03 Wurf und Sprung). In Vektorschreibweise sieht die Gravitationskraft wie folgt aus (hierbei wird die Fallbeschleunigung mit $g$ bezeichnet):

;#; $ \vec{F}=\begin{pmatrix}0\\-mg\end{pmatrix} $ ;#;

In der Flugphase wirken keine weiteren Kräfte.

Kontaktphase:

<imgcaption image1 | Beinkräfte > </imgcaption>

In der Kontaktphase ergibt sich die wirkende Kraft aus der Kompression der Beinfeder. Die Richtung der wirkenden Kraft ist in Linie mit der Beinfeder. Der Winkel  beschreibt den Anstellwinkel zwischen der Horizontalen und Beinachse.

;#; $ \vec{F_{Bein}}=-k(L_0-L)\begin{pmatrix}cos( \alpha) \\sin( \alpha)\end{pmatrix} $ ;#;

Die Winkelfunktionen $cos( \alpha)$ und $sin (\alpha)$ beschreiben die $x$ und $y$-Komponente der Kraft.

Wenn man nun die Länge $L$ ausschreibt und die Winkelfunktionen durch die entsprechenden Längenverhältnisse ersetzt

;#; $ L = \sqrt{x^2+y^2} $ ;#;

;#; $ \cos(\alpha) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} $ ;#;

;#; $ \sin(\alpha) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $ ;#;

erhält man für die Beinkraft:

;#; $ \vec{F}_{Bein}=-k(L_0-\sqrt{x^2+y^2})\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} $ ;#;

Durch Ausmultiplizieren und Kürzen wird aus den Gleichungen:

;#; $ \vec{F}_{Bein}=-k(\frac{L_0}{\sqrt{x^2+y^2}}-1)\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} $ ;#;

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich somit in der Kontaktphase aus der Summe von Gravitations- und Beinkraft zu:

;#; $ m\begin{pmatrix}\ddot{x} \\\ddot{y}\end{pmatrix} = \vec{F}_{Bein}+\vec{F}_G $ ;#;

;#; $ m\begin{pmatrix}\ddot{x} \\\ddot{y}\end{pmatrix} = -k(\frac{L_0}{\sqrt{x^2+y^2}}-1)\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\-mg\end{pmatrix} $ ;#;

Hier kann man erkennen, dass die Bewegungsgleichungen ein Differentialgleichungssystem bilden. D.h. die Gleichung hängt sowohl von einer Variablen als auch deren Ableitungen ab. Die numerische Lösung dieser Gleichung wird dann im nächsten Modul behandelt.

Gehen:

Während des Gehens erfolgt ein Wechsel zwischen einbeinigem und beidbeinigem Kontakt. Die Bewegungsgleichungen für den einbeinigen Kontakt wurde bereits für das Rennen bestimmt. Im beidbeinigem Kontakt wird für sowohl für das linke als auch das rechte Bein separat die Kraft bestimmt. Zusammen mit der Gravitationskraft bilden die beiden Beinkräfte die Gesamtkraft.

;#; $ m\begin{pmatrix}\ddot{x} \\\ddot{y}\end{pmatrix}=F_{Bein\:Links}+F_{Bein\:Rechts}+ F_G $ ;#;

Die Bewegungsgleichungen des Feder-Masse-Modells beinhalten die Kraft, die durch die Kompression der Beinfeder hervorgerufen werden sowie die Gravitationskraft. Die Bewegungsgleichungen bilden ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

• Ausgehend von dem allgemeinen Kraftgesetz mit dem Exponenten $\lambda$, für welche Werte von $\lambda$ ergibt sich ein progressives und für welche Werte ein degressives Kraftgesetz? Stelle hierzu das Kraftgesetz mit verschiedenen Werten für $\lambda$ dar ($\lambda=1$, $\lambda=\frac12$, $\lambda=2$)!

;#; Allgemeinen Kraftgesetz: $ F = -k(L_0-L)^{\lambda} $ ;#;

• Wie vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen während der Kontaktphase für das vertikale Hüpfen? Gib die entsprechende Formel an!
• Wie würden sich die Kraftverläufe ändern, wenn die Feder eine progressive / degressive Kennlinie hätte?
• Wie könnte eine progressive / degressive Feder-Kennlinie mechanisch realisiert werden?

• Alexander, R. (1976). Mechanics of bipedal locomotion. Perspectives in experimental biology (ed. P. S. Davies), pp. 493–504. Oxford, UK: Pergamon Press.
• Blickhan, R. (1989). The spring-mass model for running and hopping. Journal of Biomechanics, 22(11-12), 1217–1227.
• McMahon, T. A., & Cheng, G. C. (1990). The mechanics of running: how does stiffness couple with speed? Journal of Biomechanics, 23(Suppl. 1), 65–78.
• Mochon, S. & McMahon, T. (1980). Ballistic walking. Journal of Biomechanics. 13, 49–57.

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