Die Sportart Tennis ist weltweit beliebt. Es erfordert viel Konzentration, Ausdauer und Durchhaltevermögen um Tennis zu spielen.
Man muss kein großer Fan sein, jedoch hat bestimmt jeder schon einmal von Becker, Djokovic, Federer oder Williams gehört. Wie jede andere Sportart ist Tennis sehr komplex, aber es ist möglich die Mechanik dahinter in Formeln zusammenzufassen.

Ich versuche mit den Kenntnissen aus dem Biomechanik Proseminar und mit den Themen aus dem Lehrbuch „Technische Mechanik 3“ eine mechanische Annäherung herzuleiten, die ihr Augenmerk auf die Themen Impulserhaltungssatz und Stoßzahl setzt.

Bevor wir uns mit der Mechanik befassen, werden noch grundlegende Fakten diskutiert. Da es sich beim Tennis um ein Rückschlagspiel handelt, muss noch die nötige Spielausrüstung, Schläger und Ball, betrachtet werden. Sowohl Schläger als auch Ball müssen dem Regelwerk der Internationalen Tennis Federation (kurz ITF) entsprechen.
Die ITF, gegründet 1913 als International Lawn Tennis Federation und zurzeit bestehend aus 210 nationalen Tennisverbänden (Stand 2017), ist der Tennisweltverband und veranstaltet die vier Grand-Slam-Turniere. Bei diesen Turnieren messen sich die besten Tennisspieler der Welt.
<note> Der ITF ist auch der Veranstalter vieler weiterer großer Turniere wie z.B. des Davis und Fed Cups. </note>

Abb. 1: Tennisball

Der Ball besteht aus drei Komponenten. Ein Kern, bestehend aus einer Gummiblase und zwei Filzschalen, welche als Außenhülle dienen und zusammengeklebt werden. Die Oberfläche muss rund und nahtlos bleiben. Bei der Produktion unterscheidet man zwischen Druckbällen und drucklosen Bällen.
Die Gummiblase der Druckbälle wird mit einem Gas mit Überdruck (meist 1.6 bis 2.2 bar) gefüllt. Dadurch verbessert sich die Sprungeigenschaft, jedoch entweicht mit der Zeit der Druck aus dem Kern und der Ball verliert seine innere Spannung. Die Bälle werden in luftdichte Dosen, welche den selben Druck haben wie die Bälle, verschlossen, damit das Gas nicht entweicht. Druckbälle werden bei den meisten Wettbewerben genutzt.
Drucklose Bälle werden unter Normaldruck hergestellt. Ihre Sprungeigenschaft ist charakterisiert aus der Zusammensetzung der Gummiblase und der Wandstärke der Filzhülle. Diese Bälle zeigen härtere Sprungeigenschaften und eine hohe Lebensdauer.

Der ITF unterscheidet zwischen vier Typen von Tennisbällen. Deren Kennwerte variieren in der Masse, Durchmesser, dem Rückprall aus dem Fall einer bestimmtem Höhe auf Beton, der Deformation und Farbe. Durch diese Unterschiede erhält man Bälle mit verschiedenen Flug- und Sprungeigenschaften. Welchen Typ Ball man benutzt ist abhängig vom Belag des Spielfeldes.

Die Hersteller der Schläger müssen sich an die angegebenen Einheiten, welche im Anhang 2 der „Rules of Tennis 2017“ festgelegt sind, orientieren.
In diesem Anhang steht geschrieben, dass der Schläger eine Länge von 73.7 cm und eine Gesamtbreite von 31.7 cm nicht überschreiten darf. Die Schlagfläche darf maximal 39.4 cm lang und 29.2 cm breit sein.
„Until the 1970s, tennis rackets were made out of wood—most commonly ash and beech. All had dimensions of 27 × 9 inches (68.6 × 22.9 cm), which were a function of the stress limits of the wood (Miller, 2006, S.401)“. Es existierten keine Gewichtsangaben für den Schläger, jedoch werden moderne Schläger aus Kunststoff hergestellt und sind dadurch leichter und flexibler als Schläger aus den 1970er, welche größtenteils einen Holz- oder Metallrahmen hatten.

Ein wichtiger Bestandteil der Schlagfläche ist die Bespannung. Diese besteht aus Saiten, welche im Quer- und Längsformat angeordnet werden. Man unterscheidet zwischen zwei Saitenarten: der Naturdarmsaite und Kunstsaite.
Die Naturdarmsaite ist ein biologisches Produkt hergestellt aus Kuhdärmen. Dadurch sind die Herstellungskosten hoch und diese Bespannung wird hauptsächlich von Profis genutzt. Ihr Vorteil ist die hohe Elastizität, jedoch ist die Lebensdauer sehr niedrig.
Die Kunstsaite wird aus Kunstoffen, wie z.B. Polyester und Nylon hergestellt. Sie ist charakterisiert durch ihre hohe Haltbarkeit.
Das Besaitungsbild gibt die Anzahl der Längs- zu den Quersaiten an. Anbei noch eine Tabelle mit unterschiedlichen Schlägern.

Abb. 2: Spielfeldaufteilung

Laut dem Regelwerk darf der Ball einmal innerhalb des Spielfeldes aufkommen. Deswegen betrachten wir noch einmal die Eckdaten des Spielfeldes.
Laut dem ITF muss das Spielfeld rechteckig sein, 23.77 m lang und abhängig von der Spielform, beim Einzel 8.23 m und beim Doppel 10.97 m breit.
Ein Netz, welches an zwei Pfosten gespannt wird, teilt das Spielfeld in der Mitte. Die Netzhöhe in der Mitte des Spielfeldes muss 0.914 m betragen und an den Pfosten 1.07 m.
Ein weiterer Aspekt des Spielfeldes ist der Belag. Dabei unterscheidet man zwischen fünf Arten:

• Sandplatz
• Rasenplatz
• Hartplatz
• Teppichbodenplatz
• Platz mit Kunstbelag

Die Beschaffenheit des Spielfeldes nimmt Einfluss auf die Geschwindigkeit der Ballwechsel. Deshalb unterteilt der ITF die Spielfelder in fünf Kategorien, welche die Spielgeschwindigkeit auf dem bestimmten Feld klassifiziert.

1. slow pace
2. medium-slow pace
3. medium pace
4. medium-fast pace
5. fast pace

Deswegen wird ,abhängig vom Belag, mit einem ausgewählten Typ Ball gespielt. So schlägt der ITF vor auf slow pace Belägen mit Typ 1 Bällen, auf medium/ -slow/ -fast pace Belägen mit Typ 2 Bällen und auf einem fast pace Belag mit Typ 3 Bällen zu spielen.

Betrachtet man den Sport, erkennen wir ein bekanntes Thema. Der Stoß, welcher zwischen Schläger und Ball, aber auch zwischen Ball und Belag geschieht.
In der Mechanik unterscheidet man zwischen mehreren Stoßvorgängen (DYN 2). „Ein realer Körper wird nur teilweise zurückverformt“ (Gross, Hauger, Schröder, Wall; 2015; S.56).
Da sich der Tennisball beim Stoß verformt, führen wir die Stoßzahl e ein, welche die Stoßkräfte bei solch einem Vorgang verknüpft.
$$ F_R = e * F_K, \\F_R:= Restitutionskraft, F_K:= Kompressionskraft $$
„…, teilen wir zunächst den Stoß in zwei Zeitabschnitte auf: die Kompressionsperiode, in welcher der Körper zusammengedrückt wird, und die Restitutionsperiode, während der sich ganz oder teilweise zurückbildet“ (Gross, Hauger, Schröder, Wall; 2015; S.55).

„Häufig wird der Impulssatz bei Stoßvorgängen angewendet“ (Gross, Hauger, Schröder, Wall; 2015; S.53). Der Impulssatz besagt, dass in einem abgeschlossenen System der Impuls konstant bleibt.
Somit lässt sich der Impulserhaltungssatz für zwei zusammenstoßende Körper aufstellen:
$$ m_1*v_1 + m_2*v_2 = m_1*v_1^| + m_2*v_2^| $$
wobei die linke Seite der Gleichung den Impuls beider Körper vor dem Stoß und die rechte Seite den Impuls nach dem Stoß beschreibt. Dabei kann zum Beispiel $$ m_1*v_1 $$ der Impuls des Balles sein und $$ m_2*v_2 $$ der des Schlägers.
Mit Hilfe dieser Gleichung lässt sich z.B. bestimmen, wie betragsmäßig groß der Kraftstoß des Athleten sein muss, um den Ball mit dem selben Impuls zurückzuspielen.

Die Stoßzahl ist ein materialabhängiger Kennwert, welcher experimentell ermittelt wird. Anhand dieses Kennwertes erkennt man, welche Art des Stoßes erfahren wird.
„In den Grenzfällen ideal-elastischer Stoß beziehungsweise ideal-plastischer Stoß ist e = 1 (ideal-elast.) bzw. e = 0 (ideal-plast.). Beim teilelastischen Stoß liegt die Stoßzahl zwischen diesen Grenzwerten“ (Gross, Hauger, Schröder, Wall; 2015; S.56, 57).

Damit gilt für teilelastische Stöße:
$$ 0 ≤ e ≤ 1 $$
Formel: $$ e = \frac{v_2^|-v_1^|}{v_1-v_2} $$
Somit ist die Stoßzahl mathematisch gesehen nur ein Verhältnis der Geschwindigkeitsdifferenzen vor und nach einem Stoß zwischen zwei Körpern.
Der Ball erfährt im Regelfall zwei Stöße:

1. Ball/ Schläger
2. Ball/ Belag

Nach Wirggers, Nackenhort, Beuermann, Spiess und Löhnert (2007, S. 352) ist e beim Stoß Schläger/ Ball 0.85 groß.
Wollen wir jetzt die Stoßzahl zwischen Ball und Belag bestimmen, wissen wir, dass die Geschwindigkeit des Belages vor und nach dem Stoß Null ist. Setzen wir dies in die Formel ein, so erhalten wir $$e = \frac{-v_Ball^|}{v_Ball}$$.
Die Vorzeichen zeigen den Richtungssinn. In unserem Fall bewegt sich der Ball nach dem Stoß in die entgegengesetzte Richtung aus der er fiel. Die Geschwindigkeit des Balles vor dem Stoß beträgt $$ v_Ball = \sqrt{2*g*h_1} $$ und nach dem Stoß $$ v_Ball^| = -\sqrt{2*g*h_2} $$.
<spoiler |Hier ist die Herleitung für v> Zur Auffrischung (DYN 3). Nehmen wir an, dass bei diesem Vorgang keine Wärmeenergie freigesetzt wird $$ E_wärme = 0 $$. Heben wir den Ball auf eine bestimmte Höhe h, so hat er eine Ruheenergie/ potentielle Energie $$ E_pot= m*g*h$$. Lassen wir den Ball los, so erhält er eine kinetische Energie $$ E_kin = 0.5*m*v^2$$. Laut dem Energieerhaltungssatz können wir die potentielle und kinetische Energie gleichsetzten $$ E_pot = E_kin $$. $$ m*g*h = 0.5*m*v^2 $$ Wir lösen nach v auf. $$ v = \sqrt{2*g*h} $$ Wir erkennen, dass beim freien Fall die Geschwindigkeit unabhängig von der Masse ist. </spoiler>
Setzen wir die Geschwindigkeiten ein und vereinfachen, erhalten wir für die Stoßzahl $$ e = \sqrt\frac{h_2}{h_1} $$.
Somit müssen wir nur auf die Höhe achten, welche der Ball nach dem Fall erreicht. Nach diesem Beispiel ist e nur das Verhältnis zwischen Höhen.

Roger Federer spielte in der ersten Runde der US Open 2017 gegen Frances Tiafoe (Statistik zum Spiel). Sein schnellster gemessener erster Aufschlag war 124 mph (Meilen pro Stunde) schnell. Federer gewann die Partie, ist jedoch später im Viertelfinale ausgeschieden.
Wie schnell schwang Federer seinen Schläger beim schnellsten Aufschlag?

Bei den US Opens wird auf einem Hartplatz (Deco Turf) gespielt. Auf diesen Plätzen spielt man mit Typ 2 Bällen. Uns ist die Abfluggeschwindigkeit des Balles bekannt und wir nehmen an, dass der Schläger vor und nach dem Stoß dieselbe Geschwindigkeit (Achtung: Dies ist wegen dem Impulserhaltungssatz nicht möglich, aber wir können annehmen, dass die Differenz der Schlägergeschwindigkeit vor und nach dem Stoß gegen Null geht) besitzt und der Ball wird im Ruhezustand aufgeschlagen.
<spoiler |Hier sehen Sie den Rechenweg> $$ e = \frac{v_S^|-v_B^|}{v_B-v_S} \\ v_S^|= v_S \\ e = \frac{v_S^|-v_B^|}{v_B-v_S^|} \\ e*[v_B-v_S]= v_S^|-v_B^| \\ v_B*e+v_B^|=v_s^|*[1+e] \\ v_B=0 \\ v_B^|=v_s^|*[1+e] \\ v_S=v_S^|= \frac{v_B^|}{1+e} $$ </spoiler>
Jetzt müssen die gegebenen Größen nur noch in die SI-Einheiten umgerechnet und in die Formel $$v_S=v_S^|= \frac{v_B^|}{1+e}$$ eingesetzt werden. Die Lösung ist $$v_S=\frac{55,43 [m/s]}{1,85}=29,96 [m/s] $$.
Anhand dieser Aufgabe erkennen wir, welcher Nutzen sich uns aus der Stoßzahl ergibt. Nur mit einem Messgerät und physikalischen Randbedingungen können wir die optimale Aufschlagsgeschwindigkeit bestimmen.
„Typically, the ability to generate forehand racket speed increases with playing level. (…), while professional players have recorded higher speeds: ~33 m·s-1“ (Crespo, Elliott, Reid; 2013; S. 229). Somit befindet sich unser Ergebnis in einem tolerablen Bereich. Das bedeutet, dass man simple Annäherungen zur Bestimmung der Aufschlaggeschwindigkeit des Schlägers ohne teure Messinstrumente einzusetzen machen kann. Das kann für Amateurspieler und Liebhaber des Sportes von Nutzen sein.

Meiner Meinung nach könne man dieses Thema viel detaillierter behandeln und ausarbeiten. Es gibt noch viel mehr Themen, welche man ansprechen könnte, wie z.B. die Schlagmethoden und welchen Einfluss diese auf die Flugbahn des Balles haben, welche Körperhaltung und Spannung ein Athlet aufbauen muss, um den Ball am effektivsten zu treffen oder was die beste Ausrüstung, abhängig vom Spieltyp und Körperbau, ist. Auch das Thema Messtechnik könne man hier einbauen.
Auch die Beispielaufgabe kann noch detaillierter ausgestaltet sein, indem man z.B. die Bewegungsgleichung für den Ball berechnet und ein Modell des Schlagarmes erstellt (Mehrkörpersysteme).
Viele dieser Themengebiete wurden schon in anderen Wikis angesprochen und könnten deshalb als Grundlagen dienen.
Ich hoffe auch, dass dieser Beitrag Studenten inspirieren wird, sich mit anderen Sportarten auseinanderzusetzen und die Mechanik dahinter hinterfragen und verstehen zu wollen.
Hiermit bedanke ich mich für eure Zeit und wünsche euch noch viel Spaß beim Erkunden weiterer Wikis!

<spoiler |1. Wie heißt die Organisation, welche das Regelwerk für die Sportart festlegt?> Internationale Tennis Federation, kurz ITF. </spoiler>

<spoiler |2. Wie lautet die Formel für die Stoßzahl e?> $$ e = \frac{v_2^|-v_1^|}{v_1-v_2} $$ </spoiler>

<spoiler |3. Wie groß ist e zwischen Schläger und Ball?> Nach Wirggers, Nackenhort, Beuermann, Spiess und Löhnert (2007, S. 352) ist e beim Stoß Schläger/ Ball 0.85 groß. </spoiler>

Abb. 1: Tennisball. Letzter Zugriff am 22. März 2018 um 13:40 unter https://commons.wikimedia.org/wiki/User:VisualBeo#/media/File:Tennisball.jpg

Abb. 2: Spielfeldaufteilung. Letzter Zugriff am 22. März 2018 um 13.43 unter https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tennis_court_imperial.svg

Gross, D.; Hauger, W.; Schröder, J.; Wall, W. A. (2015). Technische Mechanik 3 (13. Auflage). Wiesbaden: Springer Vieweg

Beuermann, S.; Löhnert, S.; Nackenhorst, U.; Wriggers, P. (2007). Technische Mechanik kompakt: Starrkörperstatik - Elastostatik - Kinetik, (2. Ausgabe). Berlin: Springer-Verlag

ITF Ltd. (2016). Rules of Tennis. London: ITF Ltd. Erhältlich als pdf-Dokument auf http://www.itftennis.com/technical/publications/rules/overview.aspx . Zuletzt aufgerufen am 27.12.2017

Miller, S. (Mai 2006). British Journal of Sports Medicine: Modern tennis rackets, balls, and surfaces. London: BMJ Publishing Group Ltd.

Crespo, M.; Elliott, B.; Reid, M. (2013). Journal of Sports & Medicine: Mechanics and Learning Practices Associated with the Tennis Forehand: A Review. Bursa: Hakan Gür, MD, PhD

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