DYN3 Translation II

In diesem Modul werden die dynamischen Größen Arbeit, Energie und Leistung beschrieben und deren Zusammenhang erläutert.

Dieser Themenkomplex ist sehr mathematisch und mit vielen Formeln bestückt. Sollten während dem Durcharbeiten des Moduls Verständnisprobleme auftreten, wird empfohlen direkt zu den zusammenfassenden Videos am Ende des Moduls zu scrollen. In diesem Tutorial werden die niedergeschriebenen Formeln behandelt und ausführlich hergeleitet. Es ist vollkommen ausreichend sich nur die Videos anzusehen.

Das Formelzeichen für die Arbeit ist $W$ (engl. = work). Die Einheit wird in Newtonmeter $[Nm]$ angegeben. Dabei ist ein Newtonmeter gleich ein Joule $[J]$, was wiederum einer Wattsekunde $[Ws]$ entspricht. Die SI-Einheit der Arbeit lautet: $ [\frac{kg * m^2}{s^2}]$

Die Formel für die Arbeit lautet: $W = F * s * cos(\alpha)$, wobei $\alpha$ der Winkel ist, unter dem die Kraft an der Masse angreift (Neben $\alpha$ (Alpha) wird auch $\theta$ (Theta) verwendet).

Abb. 1: Darstellung der Arbeit entlang eines Weges unter einem bestimmten Winkel (Wolframalpha)

Beispiel:

In dem Beispiel wird ein Klötzchen entlang der Strecke $d = 100 m$, mit der Kraft $F = 30 \: N$ und dem Winkel $\theta = 45^\circ$ gezogen. Wie groß ist die verrichtete Arbeit? Das Ergebnis gibt's auf WolframAlpha.

Die Spezialfälle ergeben sich bei markanten Winkelpositionen.

Wirkt die Kraft und der Weg in die gleiche Richtung, so entspricht der Winkel $\alpha = 0^\circ$. In diesem Fall fällt der Winkel aus der Gleichung heraus, da $ cos(0^\circ) = 1$ ist. Schließlich bleiben die restlichen Parameter erhalten: $W = \vec{F} * \vec{s}$.

Der Kosinus von $180^\circ$ ist $-1$. Die Kraft wirkt als Bremskraft und es wird negative Arbeit verrichtet.

In diesem Fall wird zwar Arbeit im Sinne der Hubarbeit verrichtet, allerdings entsteht keine Bewegung in Richtung des Ziels (A $\rightarrow$ B).

Angenommen man erhält aus dem Labor einige Messwerte und möchte daraus die Arbeit berechnen. Die Daten werden dann so, wie in den folgenden Kraft-Weg-Diagrammen dargestellt.

Abb. 2: Mechanische Arbeit - Allgemeiner Fall: Teil I (Seyfarth, 2001, S. 37)

Abb. 3: Mechanische Arbeit - Allgemeiner Fall: Teil II (Seyfarth, 2001, S. 37)

Im linken Diagramm ist die Kraft konstant, während sie in der rechten Abbildung variiert. Die Arbeit entspricht der gestrichelten Fläche,während die Punkte $S_1$ und $S_2$ jeweils die Strecke für die verrichtete Arbeit begrenzen. Aus diesen Parametern lässt sich letztendlich über Integration die Arbeit berechnen.

Hubarbeit wird immer dann verrichtet, wenn ein Gegenstand um eine Höhe $h$ angehoben wird. Da Hubkraft und Hubweg in die selbe Richtung zeigen, können wir die Formel Kraft mal Weg benutzen: $W_{hub} = F_h * h$. Die Beschleunigung der Hubkraft entspricht der Erdbeschleunigung $g$, für die Berechnung der Hubarbeit können wir folgende Formel benutzen: ;#; $W_{hub} = m * g * h$ ;#; Hubarbeit im Sport: Zum Beispiel wird beim Sprinten Hubarbeit verrichtet. Die Arbeit die beim Kniehub verrichtet wird, sollte möglichst effizient für den Vortrieb genutzt werden.

Siehe auch: Hubarbeit mit Rechenbeispielen und Erklärung.

Verformungsarbeit wird immer dann verrichtet, wenn ein Körper seine Form ändert, z.B. eine Reckstange oder eine Feder. Eine Feder kann gedehnt und gestaucht werden. Wenn sich ein Körper (z.B. die Feder) linear dehnt und streckt, ergibt sich folgendes Kraft-Weg Diagramm:

Abb. 4: Darstellung des Kraft-Weg-Verlaufs anhand einer verformten Feder

Zur Berechnung gibt es 2 Formeln:

$W = \frac12 * F_E * s$

$W = \frac12 * k * s^2$

<spoiler |Formelerklärung> Die $\frac12$ ergeben sich, wenn man die lineare Funktion integriert um die Fläche darunter zu berechnen. Des Weiteren steht $F_E$ für die Federkraft und $s$ für die Auslenkung der Feder. $k$ (oder auch $D$) beschreibt die Federkonstante und ist ein Maß für die Steifigkeit der Feder. Wegen $F_E = k * s$ (Formel für Federkraft) taucht $k$ in der Formel auf und $s$ wird quadriert. </spoiler>

Wirkt eine äußere Kraft auf die Feder ein, so wird die gewonnene Energie als potentielle Energie gespeichert.

Federarbeit im Sport: Im Sport kommt die Federarbeit z.B. beim Trampolinspringen vor. Jedesmal wenn der Turner im Tuch einsinkt wird es gedehnt und potentielle Energie gewonnen, die der Turner in Höhe umsetzen kann.

Siehe auch: Verformungsarbeit mit Rechenbeispielen und Erklärung.

Beim Beschleunigen wird Beschleunigungsarbeit verrichtet. Im Sport finden sich unzählige Beispiele dazu, etwa Sprints oder Turnelemente. Die Berechnung lässt sich mit folgender Formel realisieren:

;#; $W = F_{B} * s = m * a * s$ ;#;

Alternativ kann auch die Arbeit mittels der Geschwindigkeit bestimmt werden:

;#; $W = \frac12 * m * v^2$ ;#;

Energie ist das Arbeitsvermögen eines Körpers. Dabei haben Energie und Arbeit die gleiche Einheit. Zunächst wird das Hauptaugenmerk auf die kinetische und potentielle Energie gelegt, die mittels folgender Parameter definiert werden.

$$ E_{kin} = \frac12*m*v^2 \\ E_{pot} = m * g * h $$

Eine wichtige mechanische Erkenntnis wird in dem Energieerhaltungssatz festgehalten: In einem abgeschlossenem System ist die Summe der Energie konstant (Wick, 2009, S. 57):

$$ E_{pot} + E_{kin} + E_{wärme} = const $$

Außerdem hat die Energie folgende Eigenschaften:

1. Die Energie kann auf andere Körper übertragen werden
2. Energie kann an gleichen Körpern in anderer Form in Erscheinung treten. (Seyfarth, 2011, S. 9)

Beispiel: Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Die Bewegung in der Steigphase wird durch die kinetische Energie (Bewegungsenergie) ausgedrückt, die sich allmählich in potenzielle Energie umwandelt. Die Geschwindigkeit des Balles nimmt mit steigender Höhe ab, bis am höchsten Punkt die Geschwindigkeit gleich null ist und somit die kinetische Energie vollständig in potentielle Energie übergegangen ist.

Ein Beispiel: Ein Ball wiegt $1,5\:kg$ und wird $25\:m$ in die Höhe geworfen. Wie hoch ist seine kinetische und potentielle Energie und mit welcher Geschwindigkeit fällt der Ball herunter?

Wir setzen ein:

$$ E_{pot} = m * g * h \\ = 1,5 \: kg * 9,81 \: \frac{m}{s^2} * 25 \: m \\ = 367,875 \: kg * \frac{m^2}{s^2} $$

Am höchsten Punkt hat der Ball also die ausgerechnete potentielle Energie, die kinetische Energie ist Null, da der Ball kurz in der Luft 'steht'. Um seine Geschwindigkeit kurz vor dem Boden zu berechnen, setzen wir $E_{pot} = E_{kin}$ und lösen nach $v$ auf. Das Gleichsetzen der beiden Energien ist möglich, denn kurz über dem Boden hat der Ball keine potentielle Energie mehr, sondern nur noch kinetische Energie. Da der Energieerhaltungssatz gilt, muss die Gesamtenergie gleich bleiben. $E_{pot} = 0 $ kurz über dem Boden, d.h. die kinetische Energie übernimmt den ausgerechneten Wert der potentiellen Enerige am höchsten Punkt.

$$ E_{kin} = \frac12 *m*v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2\:E_{kin}}{m}} $$

mit $$ E_{kin} = E_{pot} \implies v = \sqrt{\frac{2\:E_{pot}}{m}} = \sqrt{\frac{2*367,875\:kg * \frac{m^2}{s^2}}{1,5\:kg}} = 22,15 \frac{m}{s} $$

Der Ball trifft also mit einer Geschwindigkeit von $ 22,15 \frac{m}{s} = 79.74 \frac{km}{h}$ auf dem Boden auf.

Wo ist nun der Unterschied zwischen Arbeit und Energie und was haben sie gemeinsam?

Gemeinsam haben beide die Einheit, sie werden in $J$ (Joule) ausgedrückt. Die Arbeit ist letztendlich der Energieumsatz, das heißt „an einem Körper wird Arbeit verrichtet, wenn er Energie aufnimmt bzw. ein Körper verrichtet Arbeit, wenn er Energie abgibt“ (Seyfarth, 2011, S. 42). Demnach kennzeichnet die Arbeit also einen Vorgang. Im Gegensatz dazu steht die Energie, diese ist als Zustand definiert, denn sie beinhaltet das Arbeitsvermögen eines Körpers (Seyfarth, 2011, S. 42).

Folgende Metapher soll helfen:
Ein Auto hat einen Tank (Energie) und die Arbeit ist die Strecke die es fährt.

Leistung (engl. = Power) beschreibt die verrichtete Arbeit pro Zeit. Sie lässt sich anhand folgender Formel bestimmen: $P = \frac{\Delta{W}}{\Delta{t}}$ und durch die Einheit $\frac{J}{s}$ bzw. $W$ (Watt) definieren. Bei konstanter Kraft gilt (Seyfarth, 2011, S. 14):

;#; $ P = F * \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}} = F * v $ ;#;

Die Transportkosten entsprechen der verbrauchten Energie pro zurückgelegter Strecke, also:

;#; $ T = \frac{E}{s} = \frac{P}{v} $ ;#;

Mit Hilfe dieser Formel lassen sich die verbrauchten Kalorien beim Sport ausrechnen (Seyfarth, 2011, S. 15).

Wir stecken Energie in Bewegungen und erhalten einen Output. Der Wirkungsgrad gibt an, wie gut wir die Energie umsetzen, die uns zur Verfügung steht. Der Wirkungsgrad (engl. efficiency) wird mit $\eta$ (gr. Eta) angegeben und ist einheitslos. Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis von bereitgestellter Energie zu geleisteter Arbeit und kann somit nur Werte zwischen null und eins annehmen, wie sich aus der Formel schließen lässt (Seyfarth, 2011, S. 16).

;#; $ \eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} $ ;#;

Arbeit, Energie und Leistung sind mechanische Größen und geben die energetische Basis an. Die Energie ist die Basis (oder auch Potential) mit der Arbeit verrichtet werden kann. Die Arbeit wird in Leistung gemessen und verglichen. Leistung = Arbeit pro Zeit.
Energie kommt in kinetischer und potentieller Form vor, kann durch Arbeit von einem Körper auf einen anderen übertragen werden und innerhalb eines Körpers können verschiedene Formen von Energie auftreten. Arbeit wird stets verrichtet, z.B. beim Beschleunigen oder beim Anheben.
Noch mehr zu diesen drei Größen der Mechanik erfahrt ihr in dem folgenden Video, welches lediglich als Zusatz dient.

<spoiler |1. Was ist der Unterschied zwischen der Arbeit und Energie?> Bei der Energie handelt es sich um das Potential eines Körpers, Arbeit zu verrichten. Arbeit ist ein Vorgang, bei dem Energie umgesetzt wird. Energie beschreibt daher einen Zustand des Körpers, die Arbeit einen Prozess mit dem Körper. </spoiler>

<spoiler |2. Welche Größe gibt in einem Kraft-Weg-Diagramm die mechanische Arbeit an?> Die Fläche, die von der Kurve F(s) zwischen zwei Punkten (z.B. s1 und s2) und der Weg-Achse (s-Achse) aufgespannt wird. Man nennt diese Fläche auch das „Integral der Kraft über den Weg“. </spoiler>

<spoiler |3. Was wird bei der Hubarbeit verrichtet?> Die Hubarbeit ist die Arbeit die verrichtet wird, um einen Gegenstand um eine bestimmt Höhe h gegen den Widerstand der Erdanziehungskraft anzuheben, also z.B. um eine Tasche vom Boden auf einen Tisch zu stellen. </spoiler>

<spoiler |4. Was sagt der Energieerhaltungssatz aus?> In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Teilenergien, d.h. die Gesamtenergie des Systems konstant. Abgeschlossen heisst, dass keine Kräfte von außen auf das System einwirken. </spoiler>

Frustfrei-lernen. (2013). Hubarbeit. Zugriff am 03.09.2013 unter http://www.frustfrei-lernen.de/mechanik/hubarbeit.html.

Frustfrei-lernen. (2013). Spannarbeit / Verformungsarbeit. Zugriff am 03.09.2013 unter http://www.frustfrei-lernen.de/mechanik/spannarbeit-verformungsarbeit.html.

Seyfarth, A. (2011). Grundlagen der Biomechanik. Teil B: Dynamik Arbeit / Energie / Leistung. Präsentationsfolien im Rahmen des PS Biomechanik WS 2011/12. Darmstadt: Institut für Sportwissenschaften.

Wick, D. (2009). Biomechanik im Sport - Lehrbuch der biomechanischen Grundlagen sportlicher Bewegungen (2. überarbeitete und erweiterte Auflage). Balingen: Spitta.

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