KIN2 Rotation

In diesem Modul werden Winkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Tangentialgeschwindigkeit, Tangentialbeschleunigung und Radialbeschleunigung beschrieben. Damit können Rotationsbewegungen sportlicher Bewegungsabläufe quantitativ ausgedrückt werden.

Einführendes Beispiel

Das Beispielvideo zeigt den Einradfahrer Felix Dietze bei seinem Lieblingstrick, dem Coasting. Während dieses Tricks berührt kein Teil des Fahrers ein rotierendes Teil des Einrads.

Beispielvideo Einradfahren

Durch die translativen Größen Geschwindigkeit und Beschleunigung ließe sich der Bewegungsverlauf über die gesamte Strecke modellieren.

Dieses Modul behandelt Rotationsbewegungen, die in dem Video beispielhaft durch das Laufrad dargstellt werden. In diesem Fall wird eine Rotationsbewegung durch die Kurbeln visualisiert.
Wie schnell rotiert das Laufrad bzw. wird das Laufrad beschleunigt? Ausgedrückt wird das durch die Größen Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung, die in den folgenden Abschnitten erläutert werden.

Verglichen mit einer translatorischen Bewegung ist bei einer Rotationsbewegungen der Winkel gleichzusetzen mit dem Weg, die Winkelgeschwindigkeit mit der Geschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung mit der Beschleunigung. Durch die rotatorische Bewegung ensteht allerdings noch eine vom Radius abhängige Bahn- bzw. Tangentialgeschwindigkeit und zusätzlich zur Tangentialbeschleunigung noch eine durch die Trägheit der zu bewegenden Masse ausgelöste Radialbeschleunigung.

Für die Rotationsgrößen Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung gelten die gleichen Umrechnungsmöglichkeiten wie für die Größen der Translation: Von Winkel zu Winkelgeschwindigkeit zu Winkelbeschleunigung gelangt man durch Differenzieren und über Integrieren berechnet man umgekehrt den Weg.

Im Folgenden werden die verschiedenen rotatorischen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen erklärt.

Die Basiseinheit für Rotationsbewegungen ist der Winkel ($\phi$ = griech. phi), dieser kann in verschiedenen Einheiten angegeben werden:

Tab.1: Übersicht - Winkeleinheiten (Halbkreis).

Natürlich besteht die Möglichkeit, zwischen den Einheiten umzurechnen, d. h. eine Einheit in eine andere umzuformen. Folgend sind die Umrechnungsformeln angegeben:

• Gradmaß = $\frac{180^\circ}{\pi} \: rad$
• Bogenmaß = $\frac{\pi}{180^\circ} \: Grad$
• Umdrehung = $\frac{Grad}{360^\circ}$

Zur Anschaulichkeit und für ein besseres Verständnis sind in Tab. 2 markante Winkelgrößen mit ihren verschiedenen Einheitsangaben zusammengefasst.

Tab.2: Übersicht verschiedener Winkelgrößen.

Als Rechenbeispiel wird die Umrechnung mit den erwähnten Umrechnungsformeln mit den Größen der 3. Spalte aus Tabelle 2 gezeigt:

Abb. 1: Bogenlänge (Seyfarth, 2011, S. 52)

Interessant ist oft die Frage nach dem Weg, der sich verändert hat. Der Weg wird auf einer Kreisbahn Bogenlänge genannt und ergibt sich aus dem Radius und dem Winkel.

Bogenlänge: $\Delta{s} = r*\Delta{\phi}\: [m]$

Umgekehrt lässt sich mit gegebener Bogenlänge und Radius auf die Winkeländerung schließen:

Winkeländerung: $\Delta{\phi} = \frac{\Delta{s}}{r} \:[rad]$

Die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$ = griech. omega) gibt an, welche Strecke (Angabe als Winkel) in welcher Zeit zurückgelegt wurde. Die Formel lautet daher:

$\vec{\omega} = \frac{\Delta{\phi}}{\Delta{t}}$ und die Einheit ist (je nach Winkeleinheit): $[\frac{^\circ}{s}]$, $[\frac{rad}{s}]$ oder $[\frac{U}{s}]$

Die Winkelgeschwindigkeit wird als Vektor angegeben, da sie einen Betrag und eine Richtung hat.

Abb. 2: Uhrzeiger (Seyfarth, 2011, S. 53

Der Sekundenzeiger benötigt für eine Minute 60 Sekunden. Die Länge des Sekundenzeigers ist bekannt ($l = 20\:mm$). Welche Strecke legt der Sekundenzeiger pro Sekunde zurück?

Den Winkel können wir durch die Gegebenheiten der Uhr ausrechnen: 360°/60 = 6°

Die Formel für die Strecke (von oben) $\Delta{s} = r*\Delta{\phi}$. In unserem Fall ist $r$ die Länge des Sekundenzeigers, also 20 mm und $\Delta{\phi}$ ist unser Winkel, nämlich 6°. Allerdings wird der Wert des Winkels im Bogenmaß erwartet, also müssen wir zunächst noch den Winkel in das Bogenmaß umrechnen (Formel von oben):

$\Delta{\phi} = \frac{\pi}{180^\circ} * Gradmaß = \frac{\pi}{180^\circ} * 6^\circ \approx 0,1$

und einsetzen:

$\Delta{s} = r*\Delta{\phi} = 20\:mm * 0,1 = 2\:mm$

Antwort: Der Sekundenzeiger legt eine Strecke von 2 mm zurück.

<spoiler |Frage: Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit?> In einer Sekunde wird ein Winkel von 6° überstrichen, d.h. die Winkelgeschwindigkeit ist 6°/s. </spoiler>

Die Tangentialgeschwindigkeit beschreibt die Bewegung bei der Drehbewegung auf einer Kreisbahn (z.B. auf einem Rad) und lässt sich an folgendem Beispiel verdeutlichen. Ein Motorrad steckt im Schlamm fest, beim Beschleunigen drehen die Räder durch und der Dreck wird vom Reifen mit der Tangentialgeschwindigkeit weggeschleudert (Bitte vorspulen auf 1 Minute). Die Geschwindigkeit zeigt dabei tangential zur Kreisbahn (Rad).

Die tangentialbeschleunigten Körper bewegen sich geradlinig. Das nächste Schaubild verdeutlicht diese Bewegung:

Abb. 3: Tangentialgeschwindigkeit

Die Tangentialgeschwindigkeit wird über den Vektor $\vec{v_T}$ beschrieben. Da Vektoren einen Betrag und eine Richtung besitzen gilt, dass über den Vektor $\vec{v_T}$ die Tangentialgeschwindigkeit auf jedem Punkt der Kreisbahn angegeben werden kann. Der Betrag ist an jedem Punkt identisch, aber seine Richtung ändert sich.
Mit dem Kreuzprodukt kann man einen Vektor ausrechnen, der senkrecht zu beiden Vektoren ist, aus denen das Kreuzprodukt berechnet wird. Da die Tangentialgeschwindigkeit ($\vec{v_T}$) senkrecht zur Winkelgeschwindigkeit ($\vec{\omega}$) und zum Radius ($\vec{r}$) ist, lässt sie sich über das Kreuzprodukt aus den beiden berechnen:

$$\vec{v_T} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$

Ein Beispiel (mit Kreuzprodukt) hierzu:

Gegeben ist:

$$ \ \vec{\omega} = \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega_z \end{pmatrix} \: \: \: \: \: \: \: \vec{r} = \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ 0 \end{pmatrix} $$

Grundformel:

$$ \ \vec{v}_T = \vec{\omega} \times \vec{r} = \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} $$

Kreuzprodukt anwenden:

$$ \vec{v}_T = \begin{pmatrix} \omega_y r_z - \omega_z r_y \\ \omega_z r_x - \omega_x r_z \\ \omega_x r_y - \omega_y r_x \end{pmatrix} $$

Gegebene Werte einsetzen:

$$ \vec{v}_= \begin{pmatrix} 0 - \omega_z r_y \\ \omega_z r_x - 0 \\ 0 r_y - 0 r_x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \omega_z r_y \\ \omega_z r_x \\ 0 \end{pmatrix} $$

Die Radialbeschleunigung ($a_r$) beschleunigt senkrecht zur Tangentialgeschwindigkeit (also zum Kreismittelpunkt). Durch diese Kenngröße wird bestimmt wie schnell sich die Richtung der Geschwindigkeit bei einer Kreisbewegung verändert.

Abb. 4: Radialbeschleunigung (mod. nach Gorbracht, 2013)

Die Radialbeschleunigung lässt sich anhand folgender Formel bestimmen:

;#; $$ \vec{a_r} = \vec{\omega} \times \vec{v_T} = \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) $$ ;#;

Mit Hilfe der Abbildung 5 lässt sich die Relevanz des Kreuzproduktes aus $\vec{\omega}$ und $\vec{v_T}$ hinsichtlich der Radialbeschleunigung verdeutlichen.

Abb. 5: Rotationselemente (Seyfarth, 2011, S. 58)

Mit der Winkelbeschleunigung ($\alpha$) wird die Änderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeit ausgedrückt. Die Formel lautet:

$ \vec{\alpha}=\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}}$ und die Einheit ist (je nach Winkeleinheit): $[^\circ / s^2]$, $[\frac{rad}{s^2}]$ oder $[\frac{U}{s^2}]$

Wie auch die Winkelgeschwindigkeit wird die Winkelbeschleunigung als Vektor angegeben, da sie einen Betrag und eine Richtung hat. Der Vektor der Winkelbeschleunigung hat die Richtung der Winkelgeschwindigkeit.

Die Tangentialbeschleunigung ($\vec{a_T}$) gibt die Beschleunigung in Richtung $\vec{v_T}$ an (Blauer pfeil in der Abbilung oben, bei Radialbeschleunigung). Die Formel lautet:

$a_T = \frac{\Delta{v_T}}{\Delta{t}}$ für $v_T$ können wir $\omega*r$ einsetzen und erhalten: $\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}}r$. Der Bruch entspricht der Winkelbeschleunigung.

Eingesetzt ergibt das: $a_T = \alpha *r$ oder als vektorielle Schreibweise:

$\vec{a}_T = \vec{\alpha} \times \vec{r}$

In diesem Modul wurden analog zum Modul "Translation" die Rotation und die dazugehörigen wichtigen Größen Winkel, Winkel- und Tangentialgeschwindigkeit und Winkel-,Tangential- und Radialbeschleunigung vorgestellt.
Im folgenden Video werden die einzelnen Größen noch einmal kurz benannt, sowie ihre Zusammenhänge erläutert; zum Beispiel der Sekundenzeiger aus diesem Wiki.

Zusätzlich werden in der folgenden Tabelle die Größen (inkl. ihrer Berechnungsformeln) nochmal systematisch aufgelistet:

<spoiler |1. Ein Körper dreht sich mit Abstand um einen Kreismittelpunkt. Wann ist die Bewegung eine Rotation, wann eine reine Translation?> Die Bewegung ist dann eine Rotation, wenn sich alle Körperpunkte um eine gemeinsamen Drehpunkt drehen, also alle ihre „eigene“ Kreisbewegung um einen Punkt ausführen. Um eine Translation handelt es sich, wenn die zurückgelegten Bewegungsbahnen der einzelnen Körperpunkte deckungsgleich und parallel sind. </spoiler>

<spoiler |2. Bei welcher Bewegung spricht man von Radial-, Tangential- oder Winkelbeschleunigung?> Welche der drei Größen man zur Beschreibung einer Rotation benutzt hängt davon ab, an welcher „Stelle“ einer Drehung man die Beschleunigung betrachtet. Betrachtet man die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit (also des zurückgelegten Winkels pro Zeit), spricht man von Winkelbeschleunigung. Betrachtet man die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit von beispielsweise einem Körper der tangential von einer Kreisbahn wegfliegt, spricht man von Tangentialbeschleunigung. Von Radialbeschleunigung spricht man, wenn man die Beschleunigung, also quasi die Zentripetalkraft, beschreibt, die von einem sich auf einer Kreisbahn bewegenden Körper zum Kreismittelpunkt hin besteht (Bsp. Hammerwerfer). </spoiler>

<spoiler |3. Wie hängen die Größen Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung zusammen?> Die Winkelgeschwindigkeit erhält man durch das Differenzieren (Ableiten) des Winkels nach der Zeit. Die Winkelbeschleunigung wird durch erneutes Differnzieren der Winkelgeschwindigkeit erreicht. Die drei Größen hängen also über ihre zeitliche Ableitung zusammen.

</spoiler>

Gorbracht, U., (2013). Radialbeschleunigung eines durch eine Kurve fahrenden PKW berechen. Zugriff am 30.07.2013 unter http://physiknerd.de/radialbeschleunigung-eines-durch-eine-kurve-fahrenden-pkw-berechen/.

Seyfarth, A. (2011). Grundlagen der Biomechanik. Teil A: Kinematik. Präsentationsfolien im Rahmen des PS Biomechanik WS 2011/12. Darmstadt: Institut für Sportwissenschaft.

Tipler, P. & Mosca, G. (2009). Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. Heidelberg: Springer.

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