In diesem Modul wird das Gehen und Rennen als periodisches Muster sowie die mathematischen Grundlagen zur Bestimmung solcher periodischer Muster vorgestellt. Des weiteren wird der mathematische Begriff der Stabilität eingeführt. Eine mathematisch exakte Herleitung des Stabilitätsbegriffes sowie eine ausführliche Beschreibung der notwendigen mathematischen Grundlagen ist hier nur bedingt möglich. Für ein tieferes Verständnis ist entsprechende Literatur zu studieren. Nach Durcharbeiten dieses Moduls sollen beim vorliegenden Feder-Masse-Modell periodische Lösungen sowie deren Stabilität bestimmt werden können.

Neben vielfältigen Beispielen in Biologie (z.B. Räuber-Beute-Systeme), Physik (z.B. Laser-Anregung), etc. wurde als etwas unübliches Beispiel von Strogatz (1988) vorgeschlagen, die Liebesbeziehung zwischen zwei Menschen mathematisch durch Differentialgleichungen zu beschreiben.

Romeo und Julia haben eine etwas komplizierte Beziehung miteinander. Julia ist dabei sehr zurückhaltend. Je mehr Romeo sie liebt, desto mehr zieht sie sich zurück. Romeo fühlt sich jedoch umso mehr zu Julia hingezogen, je mehr Julia ihn liebt. Beschreibt man diese Beziehung mit Hilfe eines linearen Differentialgleichungssystems und untersucht diese Beziehung mit Hilfe der in diesem Modul vorgestellten Stabilitätsanalyse, erkennt man, dass diese Beziehung zu einem immerwährenden Zyklus aus Hass und Liebe verdammt ist. Gemeinsam verliebt sind sie nur zu einem Viertel der Zeit.

Dieses Beispiel ist natürlich nur mit einem Augenzwinkern zu verstehen, soll aber zeigen, wie vielfältig Differentialgleichungssysteme verwendet werden, um dynamische Prozesse zu beschreiben.

Eine sehr intuitive Methode um periodische Lösungen zu suchen, ist die sogenannte steps-to-fall-Methode. Bei dieser Methode wird das Modell mit bestimmten Anfangsbedingungen gestartet und geschaut, wie viele Schritte das Modell erreicht, bevor es hinfällt. Nach einer hinreichenden Anzahl von Schritten wird die gefundene Lösung als periodisch eingestuft. Der Nachteil dieser Methode ist, wenn man diese Grenze z.B. bei 50 Schritten wählt, kann es jedoch dennoch passieren, dass das Modell beim 51. Schritt oder aber auch erst viel später hinfällt. Somit wird nur ein Teil der periodischen Lösungen gefunden: nämlich die stabilen Lösungen und die leicht instabilen Lösungen. Auch wenn Lösungen, die nur sehr wenige Schritte erreichen, nur wenig interessant erscheinen, so können aber auch diese Lösungen durch eine geeignete Kontrollstrategie stabilisiert werden.

Mathematisch exakt und auch mit der Möglichkeit zur Bestimmung des Stabilitätscharakters sind Poincaré-Abbildungen. Mit Hilfe dieser Kartierung werden z.B. in der Biologie Räuber-Beute-Systeme untersucht. D.h. unter welchen Umständen bilden sich stabile Populationen zwischen Räuber und Beute aus, ohne dass die Populationen überhand nehmen oder aussterben. Diese Kartierung kann auf viele dynamische Probleme angewandt werden. Poincaré-Abbildungen bilden dabei ein kontinuierliches dynamisches System auf ein iteratives System ab. D.h. das dynamische System wird stroboskopartig immer nur zu einem gewissen Zeitpunkt angeschaut.

<imgcaption image1 | Schwerpunktshöhe des Apex und Folgeapex > </imgcaption>

Beim Feder-Masse-Modell kann man die Poincaré-Abbildung z.B. in Form einer Apex-Return-Map anwenden um periodische Rennmuster zu finden. Der Apex bezeichnet hierbei den höchsten Punkt der Schwerpunktsbewegung in der Flugphase. D.h. beginnend mit einem Apex lässt man das Modell einen Schritt rennen und bestimmt den nächsten Apex. Wenn man für alle möglichen Anfangsapizes die sich ergebenden Folgeapizes aufträgt, ergibt sich eine Apex-Return-Map. Ist die Differenz zwischen einem Apex und einem folgenden Apex gleich Null (bzw. numerisch hinreichend klein), so hat man eine periodische Lösung und einen Fixpunkt gefunden.

<imgcaption image2 | Wiederkehr-Abbildung: Apex-Return-Map > </imgcaption>

In der vorliegenden Apex-Return-Map sieht man einen Fixpunkt am Schnittpunkt der Funktion $f(y_i)$ mit der Winkelhalbieren. Auf diese Weise kann man schnell graphisch Fixpunkte ablesen. Anhand des Anstieges des Schnittpunktes kann man den Stabilitätscharakter bestimmen (siehe im folgenden Abschnitt Stabilität).

Das Feder-Masse-Modell beim Rennen in der Sagittal-Ebene hat vier Variablen: $x$ und $y$-Koordinaten sowie horizontale und vertikale Geschwindigkeit. Durch die Apex-Return-Map haben wir eine Dimension (nämlich x) eliminiert. Durch die Wahl des Apex als Zeitpunkt für die Poincaré-Abbildung wissen wir, dass die vertikale Geschwindigkeit gleich Null ist und somit fällt diese Dimension ebenfalls raus. Da das Feder-Masse-Modell konservativ ist, d.h. die Gesamtenergie des Systems bleibt konstant, lässt sich die horizontale Geschwindigkeit aus der Apex-Höhe bestimmen. Somit hat man ein eindimensionales Problem.

;#; $E = m \:g\: y+\frac12 m\: v^2$ ;#;

Damit kann man iterative Abbildung konstruieren.

;#; $y_{i+1} = f(y_i)$ ;#;

Sind die Apexhöhe $y_i$ und die Apexhöhe des folgenden Schrittes $y_{i+1}$ identisch, so spricht man von einem Fixpunkt. Dieser wird in der Regel mit einem Sternchen gekennzeichnet:

;#; $y_{i+1} = y_i = y^{\ast}$ ;#;

Beim Gehen ist der Apex kein ausgezeichneter Punkt. Während eines Schrittes (Kontakt linkes Bein bis Kontakt rechtes Bein) treten (mindestens) zwei Apizes auf. Im Gegensatz zum Rennen muss somit ein anderer ausgezeichneter Punkt gewählt werden. Beim Gehen bietet sich z.B. der Zeitpunkt an, an dem das Bein senkrecht steht (vertical leg orientation, VLO). Beim Gehen ist die VLO-Return-Map nicht mehr eindimensional. Im Gegensatz zum Rennen, wo die Energie im Apex nur durch die Höhe und die horizontale Geschwindigkeit eindeutig bestimmt war, ist im VLO die vertikale Geschwindigkeit ungleich null. Damit ist diese Poincaré-Abbildung zweidimensional.

;#; $E = m*g*y_{APEX} + \frac{m}{2} (v_{VERTIKAL}^2+ v_{HORIZONTAL}^2)$ ;#;

Numerische Nullstellensuche

Die Suche nach Fixpunkten ist äquivalent zu einer Nullstellensuche. Numerisch lässt sich ein Vorzeichenwechsel leicht detektieren. Aus der Funktion

;#; $y_{i+1} = f(y_i)$ ;#;

kann man eine neue Funktion konstruieren:

;#; $g(y_i, y_{i+1}) = y_{i+1} - f(y_i)$ ;#;

Diese Funktion hat im Fixpunkt $y^\ast$ eine Nullstelle.

;#; $g(y^\ast) = y^\ast - f(y^\ast) = 0$ ;#;

Die Funktion $f(y_i)$ kann dabei auch mehrere oder auch gar keinen Fixpunkt besitzen.

Für die numerische Nullstellensuche existieren verschiedene Methoden: Newton-, Bisektionsverfahren, etc. In Matlab ist die Nullstellensuche durch die Funktion fzero gegeben. Diese Funktion nutzt eine Kombination aus Bisektions-, Sekantenverfahren und einer inversen quadratischen Interpolation.

Es gibt drei Arten von Stabilität: neutral stabil, stabil und instabil. Jede dieser drei Stabilitätsarten reagiert anders auf Störungen.

<imgcaption image3 | Stabilitätscharakter > </imgcaption>

• Bei einem neutral stabilen System bleibt eine Störung aus der Ruhelage (d.h. Fixpunkt) erhalten: sie wird nicht kleiner, jedoch auch nicht größer. Als Beispiel kann man sich hier eine Kugel in einer Schale vorstellen. Die Bewegung der Kugel in der Schale erfolgt dabei ohne Reibung. Wird die Kugel aus dem Fixpunkt, d.h. aus der Ruhelage im tiefsten Punkte der Schale, ausgelenkt, so wird die Kugel wieder in Richtung Ruhelage zurück rollen. Aufgrund der fehlenden Reibung wird die Kugel immer um den Fixpunkt pendeln. Die Störung wird daher nicht geringer jedoch auch nicht größer.
• Bei einem stabilen System wird eine Störung aus der Ruhelage mit fortlaufender Zeit immer kleiner. Als Beispiel kann man sich hier wieder eine Kugel in einer Schale vorstellen. Diesmal erfolgt die Bewegung der Kugel in der Schale jedoch nicht reibungsfrei. Wird die Kugel aus ihrer Ruhelage ausgelenkt, wird sie wieder in diese Richtung zurück rollen. Die Kugel wird einige Zeit um den Fixpunkt pendeln bis sie aufgrund der Reibung wieder im Fixpunkt zur Ruhe kommt. Die Störung wird somit mit der Zeit immer kleiner.
• Bei einem instabilen System wird eine Störung aus der Ruhelage mit fortlaufender Zeit immer größer. Als Beispiel kann man sich hier eine Kugel auf einer umgedrehten Schale vorstellen. Genau auf der Spitze der Schale existiert ein Punkt, auf dem die Kugel ruhen kann. Jede noch so kleine Störung aus diesem Fixpunkt lässt die Kugel von der Schale rollen. Die Störung wird somit immer größer.
• Ebenso können Mischformen auftreten. Es gibt Systeme, die in einer Richtung einen gewissen Stabilitätscharakter und in eine andere Richtung eine anderen Stabilitätschararakter besitzt. Ist ein System in mindestens eine Richtung neutral stabil und in den übrigen stabil, dann wird das System insgesamt als neutral stabil bezeichnet. Ist ein System in mindestens eine Richtung instabil, dann wird das System insgesamt als instabil bezeichnet.

Der Stabilitätscharakter wird mittels linearer Stabilitätsanalyse bestimmt. Dies macht nur eine Aussage über die Stabilität nach einer unendlich kleinen Störung. Um Aussagen über endlich große Störungen zu treffen müssen andere Methoden herangezogen werden. Wir beschränken uns hier aber erstmal auf die lineare Stabilitätsanalyse. Die hier getroffenen Aussagen gelten im übrigen nur für iterative Funktionen wie die Apex-Return-Map. Für kontinuierliche Funktionen gelten andere Aussagen.

Für die Bestimmung des Stabilitätscharakters muss man die Jacobi-Matrix der iterativen Funktion `f` im Fixpunkt bestimmen. Im Falle eines ein-dimensionalen Problems (wie z.B. Apex-Return-Map beim Rennen) reduziert sich die Jacobi-Matrix auf die einfache Ableitung. Im Falle eines höher-dimensionalen Problems beinhaltet die Jacobi-Matrix die partiellen Ableitungen der einzelnen Funktionen nach den jeweiligen Variablen. Im Falle eines zwei-dimensionalen Problems (wie z.B. Apex-Return-Map beim Gehen) ergibt sich die Jacobi-Matrix wie folgt:

$ J =\begin{pmatrix}\frac{\partial{x_{i+1}}}{\partial{x_i}} & \frac{\partial{x_{i+1}}}{\partial{y_i}} \\ \frac{\partial{y_{i+1}}}{\partial{x_i}} & \frac{\partial{y_{i+1}}}{\partial{y_i}} \end{pmatrix}$

Ist der größte Betrag der Eigenwerte im Fixpunkt größer als eins, dann ist der Fixpunkt instabil. Ist der größte Betrag der Eigenwerte im Fixpunkt kleiner als eins, dann ist der Fixpunkt stabil. Ist der größte Betrag der Eigenwerte im Fixpunkt gleich eins, kann die lineare Stabilitätsanalyse keine Aussage treffen.

Im folgenden Beispiel wird der Fixpunkt $y^\ast$ für ein 1-dimensionales Problem gesucht:

$f(y_i) = y_{i+1} = y_i^2$

Setzt man $y_i = y^\ast$ und $y_{i+1} = y^\ast$ so ergibt sich:

$y^\ast = y^{\ast_2}$

Somit ergeben sich zwei Fixpunkte:

$y_1^\ast=0 \\ y_2^\ast=1$

Um den Stabilitätscharakter der beiden Fixpunkte zu bestimmen, muss die Ableitung der Funktion $f$ bestimmt werden:

$f'(y_i) = \frac{\mathrm{d}y_{i+1}}{\mathrm{d}y_i} = 2\:y_i$

Setzt man den Fixpunkt nun in die Ableitung ein, erhält man für den ersten Fixpunkt:

$f'(y_1^\ast=0)=0$

und für den zweiten Fixpunkt:

$f'(y_1^\ast=1)=2$

Der Fixpunkt $y_1^\ast=0$ ist somit stabil, da der Betrag der Ableitung kleiner eins ist. Der Fixpunkt $y_2^\ast=1$ ist somit instabil, da der Betrag der Ableitung größer eins ist.

Im folgenden Beispiel wird der Fixpunkt $x^\ast$, $y^\ast$ für ein 2-dimensionales Problem gesucht:

$x_{i+1} = \frac{3}{2} x_i + y_i^2 \\ y_{i+1} = -x_i$

Setzt man $x_i = x^\ast$, $y_i = y^\ast$ und $x_{i+1} = x^\ast$, $y_{i+1} = y^\ast$ so ergibt sich:

$x^\ast = \frac{3}{2} x^\ast + y^{\ast 2} \\ y^\ast = -x^\ast$

Für dieses Gleichungssystem ergeben sich zwei Fixpunkte: $x_1^\ast = 0$, $y_1^\ast = 0$ und $x_2^\ast = -\frac12$, $y_2^\ast = \frac12$. Um den Stabilitätscharakter der beiden Fixpunkte zu bestimmen, müssen die Eigenwerte der Jacobi-Matrix bestimmt werden.

$ J =\begin{pmatrix} \frac{\partial{x_{i+1}}}{\partial{x_i}} & \frac{\partial{x_{i+1}}}{\partial{y_i}} \\ \frac{\partial{y_{i+1}}}{\partial{x_i}} & \frac{\partial{y_{i+1}}}{\partial{y_i}} \end{pmatrix} $

$ J(x_i, y_i) = \begin{pmatrix}\frac{3}{2} & 2 y_i \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Für den Fixpunkt $x_1^∗\ast= 0$, $y_1^\ast = 0$ ergibt sich die Jacobi-Matrix zu:

$J(0, 0) =\begin{pmatrix}\frac{3}{2} & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 

Die Eigenwerte betragen $1,5$ und $0$. Der betragsmäßig größte Eigenwert ist größer als eins und somit ist dieser Fixpunkt instabil.

Für den Fixpunkt $x_2^\ast = -\frac12$, $y^\ast = \frac12$ ergibt sich die Jacobi-Matrix zu:

$ J(-\frac12, \frac12) =\begin{pmatrix}\frac{3}{2} & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 

Die Eigenwerte betragen die Eigenwerte $0.75 + 0.66i$ und $0.75 - 0.66i$. Der betragsmäßig größte Eigenwert ist $0.75$ und somit ist dieser Fixpunkt stabil.

Periodizität beschreibt wiederkehrende Muster wie im hier vorliegenden Fall das Gehen und Rennen. Man kann diese Muster durch die steps-to-fall Methode oder durch Poincaré-Abbildungen beschreiben. Poincaré-Abbildungen kartieren dynamische Systeme wie ein Stroboskop zu festgelegten Zeitpunkten. Periodische Muster werden Fixpunkte genannt. Die Fixpunkte können dabei drei Arten von Stabilität aufweisen: neutral stabil, stabil und instabil. Die Bestimmung des Stabilitätscharakters erfolgt mittels der Bestimmung der Eigenwerte der Jacobi-Matrix im Fixpunkt.

1. An welcher Stelle besitzt folgendes Gleichungssystem seine Fixpunkte? Wie ist deren Stabilitätscharakter?

$ x_{i+1} = -y_i^2 $
$ y_{i+1} = -x_i $

• Hermann, M. (2001). Numerische Mathematik. Oldenbourg.
• Strogatz, S. H. (1988). Love affairs and differential equations. Mathematics Magazine 61(35).
• Strogatz, S. H. (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Books Group.
  

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