Abbildung 1 zeigt das Hopper-Modell mit eine Freischnitt-Skizze. Die Kinematik, die die Masse <latex>m_2</latex> über den Muskel hält wird hier nicht dargestellt, sondern die Masse m2 direkt an die Feder SEE drangeheftet. Neben dem Fuß der durch die Masse <latex>m_1</latex>, einer Feder mit der Steifigkeit <latex>k_1</latex> und eine Dämpfung mit <latex>b_1</latex> abgebildet wird, sind an den Verbindungsstellen der Elemente bzw. für jede Koordinate Massen (<latex>m_3</latex> und <latex>m_4</latex>) eingefügt worden. Diese dienen als Platzhalter und können später verwendet werden, wenn die einzelnen Komponenten des realen Aufbaus ausgelegt sind und somit auch deren Massen. Als Zwischenschritt zu diesem Modell wurde ein Hopper-Modell ohne <latex>m_3</latex> und <latex>m_4</latex> entwickelt. Da sich durch das Modell mit den Massen nahezu das gleiche Systemverhalten einstellt, wenn für diese sehr geringe Werte verwendet werden, wird an dieser Stelle nicht weiter auf das „Zwischen-Modell“ eingegangen. Da in der Realität jede Feder eine steifigkeitsproportionale Dämpfung besitzt, wird an deren Stellen eine Dämpfung in Höhe von b = 0.02k vorgesehen. Im Folgenden werden die aus den Kräftegleichgewichten und Zwangsbedingungen hergeleiteten Gleichungen vollzählig aufgestellt. Aus dem Kräftesatz an den 4 Massen ergeben sich folgende Gleichungen:

(19 - 22)

Diese werden nach der Koordinate aufgelöst und in Simulink implementiert. Für jede Koordinatenberechnung wird ein Subsystem erstellt. Desweiteren ergeben sich durch die Dämpfer und Federn folgende zum Teil schon bekannte Koppelgleichungen (Berechnung <latex>d_{PDE}</latex> (<latex>F_{CE}</latex>) siehe (4.3):

(23, 24)

<imgcaption image9 |Hopper-Modell mit Freischnitt Skizze> </imgcaption>

(25 - 31)

Die Steifigkeit k1 und die Dïämpfungskonstante b1 repräsentieren den Fuß und entsprechen denen des Marco Hopper Designs [Kalveram u. a. (2012)]. Um die Übersicht im Simulink-Modell zu bewahren wird für jede dieser Kräfte ein Subsystem erstellt. Außerdem wir für jede Koordinate eine absolute Position festgelegt. Diese haben keinen Einfluss auf die Simulation, werden aber später für die Abschätzung der Federlängen verwendet (siehe Tabelle A.2 im Anhang).

Zuerst werden nochmals die statischen Auslenkungen an den drei Koordinaten berechnet und mit den Ausgangssignalen der Simulation verglichen.

(32 - 34)

Wie in Abbildung 2 zu sehen ist, stimmen die berechneten Werten mit denen der Simulation überein. Die geringen Abweichungen ab der dritten Nachkommastelle sind auf numerische Fehler und die nicht vollständig abgeklungene Schwingung zurückzuführen.

<imgcaption image10 |Statische Auslenkung des Hopper-Modells. Verwendete Parameter siehe Tabelle A.3> </imgcaption>

Neben den statischen Auslenkungen wird auch das Sprungverhalten betrachtet, um abzuschätzen ob das dynamische Verhalten plausibel ist. In Abbildung 3 ist der Verlauf der Kraft <latex>F_{AE}</latex> und der zugehörige Verlauf der Koordinaten dargestellt. Man sieht deutlich, dass die Koordinate <latex>y_{m1}</latex>, an der die

<imgcaption image11 |Dynamisches Verhalten Hopper-Modell. Verwendete Parameter siehe Tabelle A.3> </imgcaption>

Kraft <latex>F_{AE}</latex> die größte Auslenkung erfährt, gefolgt von einer Auslenkung von <latex>y_{m2}</latex>, auf welche wiederum eine Auslenkung von <latex>y_2</latex> folgt. <latex>F_1</latex> wird zu dieser Phase aufgrund der hohen Steifigkeit lediglich leicht abgesenkt. Nach einer Aktivierung von <latex>t_{act} = 0.25s</latex> ist die Maximalkraft <latex>F_{AE}</latex> erreicht. Die Dauer der Aktivierung <latex>t_{act}</latex> wurde willkürlich festgelegt. Durch die Verzögerung von <latex>t_{verzoeg} = 50ms</latex> fällt die Kraft nicht sofort auf Null herab. Nach diesem Zeitpunkt erreicht <latex>y_{m1}</latex> die maximale Auslenkung und kurz darauf <latex>y_{m2}</latex> ebenfalls. <latex>y_2</latex> steigt weiter an aufgrund der in der Masse <latex>m_2</latex> gespeicherten kinetischen Energie. Diese kinetische Energie wird von der Feder PEE abgestützt und auf die Masse <latex>m_1</latex> übertragen. Daher folgt kurz nach dem Erreichen der maximalen Auslenkung von <latex>y_2</latex> ein starker Anstieg von <latex>y_1</latex>. Die unter kritisch gedämpften Koordinaten <latex>y_{m1}</latex>, <latex>y_{m2}</latex> und <latex>y_2</latex> führen daraufhin eine der Eigendynamik des Systems entsprechenden Schwingung aus. Die Frequenz dieser Schwingung wird im Folgenden näher betrachtet. Die Verläufe werden mit weiteren Parameter Kombinationen betrachtet, um Erkenntnisse über den Einfluss einzelner Parameter zu erhalten und auf Korrektheit zu überprüfen. Diese werde an dieser Stelle jedoch nicht weiter erläutert. Die Struktur des Hoppers ist an dieser Stelle vollständig und weißt keine Fehler auf. Daher wird mit diesem Modell eine vorläufige Parametrierung durchgeführt. Dazu wird eine Auslegungsmethode verwendet, die in Rücksprache mit Häufle festgelegt wurde: Die Federsteifigkeit des SEE wird so gewählt, dass die Eigenfrequenz der Masse <latex>m_2</latex> der Frequenz entspricht, mit der gehüpft wird. Als „Hüpf-Frequenz“ wird 2Hz festgelegt, diese liegt unter der maximalen Hüpf-Frequenz des Marco Hoppers. Daraus ergibt sich für die Steifigkeit

(35)

Da für die Steifigkeiten ein runder Wert günstig ist und aufgrund kleinerer Auslenkungen die Steifigkeit Richtung höherer Werte tendiert, wird <latex>k_{SEE} = 230/fac{N}{m}</latex> festgelegt. Die Steifigkeit <latex>k_{PEE}</latex> soll nach Aussage von Häufle möglichst gering gewählt werden und deutlich kleiner als <latex>k_{SEE}</latex>. Daraus ergibt sich jedoch das Problem, dass die Differenz der Auslenkungen y1 und y_{m1} sehr groß werden. Gerade diese soll jedoch klein werden, um beim realen Muskel einen Dämpfer einsetzen zu können, der den entsprechenden maximal Hub besitzt. Bei einem k_{PEE} = 100 /fac{N}{m} ergibt sich eine Hub von fast .5m. Bei höheren Werten wird dieser Hub geringer, jedoch zeigt sich auch, dass die Sprunghöhe des Hoppers abnimmt. Aus diesem Grund wird vorerst ein Wert von k_{PEE} = 150 /fac{N}{m} festgelegt, bei dem der Hub von ca. 0.4m immer noch zu hoch ist. Stattdessen wird der Einfluss der anderen Parameter untersucht. Eine Möglichkeit zur Verringerung des Hubs ist die Erhöhung des maximalen Dämpferkraft d_{PDE}. Hier zeigt sich jedoch, dass die Sprunghöhe stark reduziert wird. Die gleichen Effekte entstehen durch eine Verringerung der Aktivierungszeit t_{act} und der Verringerung der Maximalkraft_FAE,max. Das Problem könnte gelöst werden, indem von die Dämpfung nicht durch einen realen Dämpfer, sondern ledlich durch die Motorsteuerung emulgiert wird. Damit wïäre jedoch nicht der Zielkonflikt zwischen realistischen Parametern und der Sprunghöhe beseitigt. Zudem erfordert dies je nach Auslegung des Antriebs, dass eine Dämpfung nur stattfinden kann, wenn das CE konzentrisch kontrakiert wird, aufgrund der Nichtlinearen Federkennlinie des SE. Da Häufle keine Aussage darüber macht, wie genau sich das CE bei exzentrischer Kontraktion verhält, wird für das SE eine Feder mit linearer Kennlinie angenommen. Bei der Untersuchung, wie sich diese Änderung auf das Schwingungsverhalten auswirkt, zeigt sich anhand eines Leistungsdichtespektrums (Abbildung 4) der Koordinate y_2, dass diese nicht wie anfänglich angenommen mit der Frequenz von ca. 2Hz schwingt, sondern mit einer Frequenz die aus der seriellen Verschaltung von PEE und SEE approximiert werden kann:

(36)

<imgcaption image12 |Leistungsdichtespektrum der Koordinate y2 des Hopper-Modells. Verwendete Parameter siehe Tabelle A.3, Federdämpfungen auf 0 gesetzt> </imgcaption>

Der Wert <latex>f_{y2,approx}</latex> stimmt fast mit der niedrigsten, tatsächlich auftretenden Frequenz überein. Das Problem ist jedoch, dass sich durch Hinzufügen der Dämpfung an den Stellen SE, PEE und SEE diese Frequenzen verschieben und mittels eines Leistungsdichtespektrums nicht mehr ermittelt werden können. Diese sollte jedoch möglichst exakt ermittelt werden, um daraus die optimale Aktivierungsdauer und Frequenz für das Hüpfen ableiten zu können. Dazu ist eine genaue strukturdynamische Untersuchung nötig, wie im folgenden Kapitel gezeigt wird.

Bisher ist es aufgrund der vorhandenen Nichtlinearitiäten in SE und DPE nicht möglich gewesen, dass Hopper-Modell analytisch zu untersuchen. Da diese in den zuvor beschriebenen Entwicklungsschritten herausgenommen wurden, verhält sich das Hopper-Modell in den Phasen des Bodenkontaktes linear. Daher wird vom Hopper-Modell eine Zustandsraumdarstellung (ZRD) erzeugt und mittels dieser die Eigenfrequenzen des Systems bestimmt. Aus den Gleichungen (19), (20), (21) und (22) wird die ZRD (37) gewonnen.

(37)

Die Gravitation ist eine von außen auf das System wirkende Erregung und hat keinen Einfluss auf die Eigendynamik des Systems. Die Kräfte FAE und FPDE werden ebenfalls als Eingangsgrößen betrachtet. Im Falle des Dämpfers PDE ist dies zulässig, wenn dieser nur bei Aktivierung Energie dissipiert. Mittels der Matlab-Funktion eig() werden die Eigenwerte des Systems bestimmt und aus deren Imaginärteil der konjugiert komplexen Eigenwerten die Eigenfrequenzen <latex>f_{eig,n}</latex> ermittelt. Für die in

Tabelle A.3 eingetragenen Parameter ergeben sich folgende Werte.

(38)

Ein Blick auf Abbildung 4 zeigt, dass diese Werte mit denen des Leistungsdichtespektrums übereinstimmen. Im folgenden können mittels dieser Analyse auch bei größeren Dämpfungen die Eigenfrequenzen exakt bestimmt werden.

Abweichend von der von Häufle vorgeschlagenen Auslegungsmethode der Parameter wird nun SEE und PEE soweit erhöht, bis die niedrigste Eigenfrequenz des Gesamtsystems bei ungefähr 1,8Hz liegt. Die Eigenfrequenz wird etwas geringer als die vorherigen 2Hz gewählt, um eine etwas größere Sprunghöhe zu erreichen und die gesetzten Anforderungen zu erfüllen (niedrigere Sprungfrequenz erlaubt längere Aktivierung). Nach Ausprobieren verschiedener Parameterkombinationen werden die Parameter <latex>k_{SEE} = 800\frac{N}{m}</latex> und <latex>k_{PEE} = 300\frac{N}{m}</latex> festgelegt. Mit diesen Werten ergibt sich eine Eigenfrequenz von <latex>k_{eig,1} = 1.7962</latex>. An dieser Stellen sollen die Parameter des CE anhand von in der Literatur angegebenen Werten ermittelt werden. Dazu werden die berecheneten Gleichungen aus [Haeufle u. a. (2012)] verwendet:

(39)

<latex>F_{AE,max} = 60N</latex> wird wie zuvor so gewählt, dass es ungeführ der vierfachen Massenkraft von <latex>m_2</latex> entspricht. Die Länge <latex>L_{CE,opt}</latex> ist die Länge, bei der der Muskel die Maximalkraft <latex>F_{AE,max}</latex> erzeugt. Da in unserem Fall das Kraft-Längenverhältnis nicht beachtet wird, wird ein realistischer Wert von <latex>L_{CE,opt} = 0.2m</latex> festgelegt (z. B. M. semitendinosus [Guenther (1997)]). Zur Berechnung der Muskelkonstanten werden Werte von van Soest [van Soest (1992)] (zitiert in [Guenther (1997)]) verwendet:

(40)

Mit diesen Werten ergeben sich die Dämpfungsparameter <latex>R_{PDE} = 0.2908</latex> und <latex>D_{PDE,max} = 81,3462</latex> ≈ 80N. Zur Steifigkeit des SE konnten keine Informationen gefunden werden, daher wird dieser Wert unverändert beibehalten (<latex>k_{SE} = 2000N</latex>). Somit sind alle Parameter des CE festgelegt. Abbildung 5 und 6 zeigen das Kraft-Geschwindigkeit-Verhältnis mit den ermittelten Parametern. Ein Versuch nachzuweisen, dass es sich hierbei um ein realistisches Muskelverhalten handelt wird aus zeitlichen Gründen nicht vorgenommen. Mit der Bestimmung der exakten Eigenfrequenzen <latex>f_{eig,n}</latex> und der Festlegung der Parameter ist es möglich die optimale Aktivierungsdauer und Frequenz für Hüpfen bzw. periodische Anregung zu ermitteln. Dazu wird angenommen, das die optimale Aktivierungsdauer einem Viertel der Periodendauer beträgt, die sich aus der niedrigsten Eigenfrequenz des Systems ergibt:

(41)

<imgcaption image13 |Kraft-Geschwindigkeits-Verhältnis des CE aus QRM, verwendete Parameter siehe Tabelle A.4> </imgcaption>

<imgcaption image14 |Kraft-Geschwindigkeits-Verhältnis des CE aus QRF, verwendete Parameter siehe Tabelle A.4> </imgcaption>

Um die Annahme auf Korrektheit zu überprüen, wird die Simulation mit dieser Aktivierungsdauer und mit um den berechneten Wert variierende Dauern ausgeführt und die Sprunghöhen verglichen. Als Periodendauer wird immer das vierfache der jeweiligen Aktivierungsdauer verwendet. Diese Versuche werden einmal ohne eine Verzögerung der Kraft <latex>F_{AE}</latex> und einmal mit einer Verzögerungzeit von <latex>t_{verzoeg} = 30ms</latex> ausgeführt. Als Sprunghöhe wird der Wert genommen, der sich nach längerem Hüpfen einstellt. Die Ergebnisse dieser beiden Versuchsreihen sind in den Abbildungen 7 und 8 zu sehen. Wie angenommen werden die größten Sprunghöhen mit dem berechneten Wert (41) erreicht. Der Verlauf der Koordinaten bei periodischer Aktivierung mit <latex>t_{akt} = \frac{1.7962}{4}</latex> und <latex>t_{verzoeg} = 30ms</latex> ist in Abbildung 9

<imgcaption image15 |Sprunghöhe in Abhängigkeit der Aktivierungsdauer t act , t verzoeg = 0, restliche Parameter siehe A.4> </imgcaption>

<imgcaption image16 |Sprunghöhe in Abhängigkeit der Aktivierungsdauer t act , t verzoeg = 30, restliche Parameter siehe A.4> </imgcaption>

<imgcaption image17 |Dynamisches Verhalten Hopper-Modell. Verwendete Parameter siehe Tabelle A.3> </imgcaption>

An dieser Stelle wird eine Betrachtung der Energieverteilung bei einem Sprung des Systems durchgefährt. Dies dient der Überprüfung, ob die Eigenschaft von Sehnen, Energie zu speichern realistisch abgebildet wird. Beim Menschen konnte experimentell nachgewiesen werden, dass z. B. in der Achillessehne ca. 25% der beim Springen genutzen Energie gespeichert werden können [Lichtwark und Wilson (2005)]. Für das vorliegende System soll dies untersucht werden. Dazu wird die Simulation so umgeändert, dass der gesamte Hopper aus einer willkürlich festgelegten Höhe von 0,2m fallen gelassen wird. Beim Bodenkontakt wird ein Teil dieser potentiellen Energie in den Federn gespeichert. Der Rest wird durch die Steifigkeitsproportionale Dämpfung der Federn dissipiert oder liegt als kinetische Energie vor. Der in den Federn gespeicherte Teil sollte am größten sein, wenn die Masse <latex>m_2</latex> den niedrigsten Punkt erreicht hat. Ziel ist es zu diesem Zeitpunkt die Energieanteile zu bestimmen und abzuschätzen, ob das System zu stark oder schwach gedämpft ist, im Vergleich zu einem menschlichen Muskel. Zudem kann diese Betrachtung dazu genutzt werden, das System zu validieren. So muss z. B. durch eine Erhöhung einzelner Dämpfergrade die dissipierte Energie immer ansteigen. Die Simulation wird mit denen aus dem vorherigen Abschnitt bestimmten Parametern durchgeführt (siehe Tabelle A.4). Die Abtastrate wird auf eine feste Schrittweite von <latex>t_{abt} = 0.00001</latex> gesetzt, um bei der Integration der durch die Dämpfer dissipierten Energie keine Fehler zu erhalten. Während der Simulation werden alle Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Kräfte festgehalten. Wie bereits erwähnt, sind die Zustände zu zwei Zeitpunkten bzw. die dazwischen dissipierte Energie von Interesse: Der Zeitpunkt t = 0 und der Zeitpunkt, an dem die Masse <latex>m_2</latex> den niedrigsten Punkt erreicht <latex>t_{min(y2)}</latex>. Zu Beginn, d. h. t = 0, liegt nur in den Massen gespeicherte potentielle Energie vor. Die Gesamtenergie des System berechnet sich zu:

(42)

Bis zum Zeitpunkt <latex>t_{min(y2)}</latex> ist folgender Anteil dieser potentiellen Energie umgewandelt:

(43)

Die in den Federn gespeicherte Energie zu diesem Zeitpunkt berechnet sich zu:

(44)

Somit wird folgender Anteil der potentiellen Energie in den Federn gespeichert :

(45)

Um zu kontrollieren, ob die berechnetenWerte korrekt sind, werden die kinetischen Energien der Massen zum Zeitpunkt <latex>t_{min(y2)}</latex> berechnet und die bis zu diesem Zeitpunkt dissipierte Energie. In der Summe müssen diese und die in den Federn gespeicherte Energie <latex>E_{Federn,t_{min(y2)}}</latex> der zugeführten Energie <latex>E_{pot}</latex>,zu entsprechen. Für die kinetische Energie ergibt sich folgender Betrag:

(46)

Für die dissipierte Energie wird zuerst aus den Dämpferkräften und den Geschwindigkeiten die Leistungs berechnet:

(47)

Diese Leistungen der Dämpfer werden aufaddiert und über der Zeit integriert:

(48)

Die Summe aus dissipierter, kinetischer und in den Federn gespeicherter Energie ergibt:

(49)

Die Werte stimmen bis auf die zweite Nachkommastelle überein. Die Ursache für die geringe Abweichung ist nicht bekannt, evtl. handelt es sich um numerische Ungenauigkeiten. Die Berechnung der Energien an sich kann somit als korrekt angenommen werden. Da ein Anteil von 62,44% der zugeführten Energie in den Federn gespeichert wird, müsste die Dämpfung noch weiter erhöht werden, um das Verhalten des Systems an das eines realen Muskels anzupassen. Da sich dies wahrscheinlich negativ auf die Sprunghöhe auswirkt, wird keine Änderung an den Parameter vorgenommen.

Siehe Literaturverzeichnis

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