Nachdem in den vorangegangenen Kapitel der Aufbau des Modells erklärt und zudem das grundlegende Vorgehen bei einer Simulation mit MatLab aufgezeigt wurde, werden im folgenden Kapitel 5 die Simulationsdaten ausgewertet. Hierbei wird zunächst das Vorgehen zur Validierung geeigneter Parametersätze dargestellt. Im Anschluss daran werden die einzelnen Modi (Gehen, Laufen, Laufen seriell), sofern valide Parametersätze gefunden werden konnten, hinsichtlich der folgenden vier Fällen untersucht:

1. Ohne Aktuator - Ohne Dämpfer
2. Mit Aktuator - Ohne Dämpfer
3. Ohne Aktuator - Mit Dämpfer
4. Mit Aktuator - Mit Dämpfer
   
   

Im ersten Unterkapitel dieses Bereichs werden zunächst die Kriterien für ein erfolgreiches Gehen und Laufen bestimmt und es wird aufgezeigt, welche Kriterien in der Literatur hierzu zu finden sind. Anschließend werden modellübergreifende Parameter anhand Literatur recherchiert, für alle Modelle bestimmt und erläutert. Unterkapitel 3 zeigt auf, wie modellspezifische Parametersätze gefunden werden können und gibt diese für die einzelnen Konstellationen an.

Um das Modell auf Stabilität zu untersuchen, wird ein Erfolgskriterium benötigt. Während Dittrich (2005, S. 53) das Maß für stabiles Gehen auf 100 Schritte und für stabiles Laufen auf 50 Schritte festlegt, brechen Geyer (2005) und Seyfarth, Geyer, Günther & Blickhan (2002) einen Simulationsvorgang ab, wenn 24 Schritte erfolgreich gegangen wurden. In der folgenden Auswertung wurde, konform zu Dittrich (2005), das Abbruchkriterium pro Simulationsdurchgang mit 100 Schritten definiert. Im Rahmen der Bearbeitung dieser Problemstellung wurden, gemäß Geyer, 100 Schritte als Erfolgskriterium definiert.

Ausgangslänge der Feder und Masse
Die Ausgangslänge der Feder wird auf 1 $m$ und die Masse auf 80 $kg$ festgelegt. Dies entspricht den Angaben der für dieses Projekt recherchierten Literatur (Seyfarth et. al. 2001). Dort wird eine Ausgangslänge der Feder von 1 $m$ und eine Masse von 80 $kg$ als „menschenähnliche Parameter“ (Geyer, 2005, S. 63) bezeichnet.

Anfangsgeschwindigkeit
Beim Gehen wird die Anfangsgeschwindigkeit auf 1,2 $\frac{m}{s}$ (4,32 $\frac{km}{h}$) festgelegt. Dies entspricht der durchschnittlichen Geschwindigkeit eines Spaziergangs.
Für den Modus Laufen wurde die Anfangsgeschwindigkeit mit 5 $\frac{m}{s}$ (18 $\frac{km}{h}$) definiert. Dies entspricht der Leistung einer Marathonspitzenläuferin. Die Siegerin des Berlin-Marathons im Jahr 2012 Aberu Kebede benötigte für die 40,2195 $km$ eine Zeit von 2:20:30 $h$. Dies entspricht einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 5 $\frac{m}{s}$.

Erbeschleunigung
Die Erdbeschleunigung wirkt in $y$-Richtung mit 9,81 $\frac{m}{s^2}$ immer positiv und wird daher auch als konstanter (positiver) Wert festgelegt.

Der Hauptbestandteil der drei Modelle Gehen, Laufen und Laufen seriell ist der Komplex aus seriellen und parallelen Federn, einem parallelen Dämpfer und einem parallelen Aktuator. Ausgehend von diesen drei Komponenten lassen sich folgende vier Situationen ableiten, die hinsichtlich der maximal möglichen Schrittzahl untersucht werden sollen:

• mit Aktuator, mit Dämpfer
• ohne Aktuator, ohne Dämpfer
• mit Aktuator, ohne Dämpfer
• ohne Aktuator, mit Dämpfer

Für diese Konstellationen müssen nun Parametersätze bzw. Parameterbereiche gefunden werden, in denen das Kriterium 100 Schritte für erfolgreiches Gehen bzw. Laufen erfüllt wird. Dazu wurde das folgende Matlab-Skript geschrieben. Dieses ermöglicht eine Ermittlung der Anzahl gelaufener Schritt bei einer Variation von zwei beliebigen Parametern in einem definierten Bereich. Das Ergebnis, also die Anzahl der gelaufenen Schritte wird mit einem PseudocolorPlot dargestellt. Dieser spannt durch die Parameter 1 und 2 ein Schachbrettmuster entlang der $x$- und $y$-Achse der Grafik auf. Die Funktionsergebnisse werden durch eine abgestufte Farbskala dargestellt (s. <imgref image1>).

<imgcaption image1|PseudocolorPlot> </imgcaption>
Im Folgenden wird das Skript aufgezeigt und erklärt.




Hier wird der erste Parameter Aktuatorkraft mit seinen Bereichen definiert. Dies erfolgt in der in Matlab üblichen Syntax. Der Wertebereich geht von 0 bis 10.000 $N$ mit Intervallschritten von 100 $N$.




Analog dazu wird der zweite Parameter Federsteifigkeit parallel deklariert.



Anschließend wird ein leeres $n\times m$-Array $steps$ erzeugt, also eine leere Matrix mit $n$ Spalten und $m$ Zeilen hat. Dabei stellt $n$ die Anzahl an verschiedenen Werten des ersten Parameters und $m$ des zweiten Parameters dar. Die Werte für $n$ und $m$ ergeben sich aus dem jeweilig betrachteten Funktionsintervall und der Schrittgröße.









Nun wird die Schrittzahl für jede mögliche Kombination der beiden Parameter berechnet. Dies geschieht, indem Matlab die Laufvariablen $i$ bzw. $j$ systematisch kombiniert und die Simulation des Modells startet. Die systematische Kombination geht nach dem Schema vor, den Wert einer Variable festzuhalten und alle Werte der zweiten Variable durchzulaufen. Sobald alle Werte der zweiten Variable getestet wurden, wird die erste Variable um eins erhöht und der Test beginnt von vorne. Die Anzahl der Schritte wird über den Schrittzähler ausgelesen und dann an der richtigen Stelle der leeren Matrix für die spätere graphische Darstellung gespeichert. Da die Zählschleifen allerdings nicht mit den realen Werten der Parameter, sondern mit Zählinizes arbeiten, muss über diese Zahl der richtige Zugriff auf das Array erfolgen. So wird bei dem Durchgang $i=5$ und $j=10$ der fünfte Wert aus dem Array des zweiten Parameters genommen und in der Variable $F$ gespeichert. Analog dazu wird der zehnte Wert des zweiten Parameters als $k$ gespeichert.






Das Ergebnis des zweidimensionalen Arrays $steps$ wird über pcolor, wie in <imgref image1> dargestellt, visualisiert. Dabei wird aufn der Ordinate der Parameter 1 und auf der Abszisse der Parameter 2 aufgetragen. Über die Funktionen x/ylabel werden die zu Beginn des Skriptes festgelegten Namen der Parameter in die Grafik eingefügt.

Nachdem im vorangegangenen Abschnitt Parameterbestimmung beschrieben wurde, wie für jeden Modus passende Parametersätze gefunden werden können, sollen im Folgenden die einzelnen Modi analysiert werden. Dabei werden pro Modus (Gehen, Laufen, Laufen seriell) vier Fälle unterschieden. Zunächst wird das jeweilige Modell ohne Aktuator und Dämpfer simuliert. Bei der Auswertung werden dabei einzelne Parameter des Systems dargestellt und im Hinblick auf die Geh- bzw. Laufbewegung beschrieben. Im zweiten Schritt wird das Modell mit aktiviertem Aktuator simuliert und mit den Daten aus Fall 1 verglichen. Während im dritten Schritt das System mit aktiviertem Dämpfer betrachtet wird, folgt im letzten Fall die Simulation des Modells sowohl mit aktiviertem Aktuator, als auch mit aktiviertem Dämpfer. Auch bei Schritt 3 und 4 werden die Daten mit den in Fall 1 berechneten Ergebnissen verglichen.

Nachdem in den vorangestellten Kapiteln die Modelle in jeweils vier verschiedenen Konstellationen simuliert und die Daten analysiert wurden, soll in diesem Kapitel ein zusammenfassender Vergleich zwischen den Modellen erfolgen.


Vergleich: Strecke, Simulationsdauer, Schrittfrequenz, Schrittlänge








Da es sich beim Modus Gehen um eine andere Bewegungsart handelt, als bei den Modi Laufen und Laufen seriell, macht ein Vergleich der simulierten Daten an dieser Stelle keinen Sinn. Die recherchierte Literatur hat ebenfalls keine verlässlichen Daten beinhaltet, mit denen die ermittelten Parameterausprägungen verglichen werden könnten.

Wird das System in den Modi Laufen und Laufen seriell bezüglich der Strecke, der dafür benötigten Zeit, der Schrittfrequenz und der Schrittlänge verglichen, fällt zunächst auf, dass nur für Fall 1 ein Vergleich sinnvoll ist. Während der Modus Laufen nur in Fall 1 und Fall 4 ein stabiles Laufverhalten aufweist, konnte der Modus Laufen seriell nur in Fall 1 und Fall 2 stabil simuliert werden. Beide Modi erreichen also in Fall 1 das Erfolgskriterium von 100 Schritten. Die gewählten Parametersätze unterscheiden sich lediglich hinsichtlich der Federsteifigkeit. Im Modus Laufen wird die Federsteifigkeit der parallelen Feder auf 22.500 $N$ festgelegt, während im Modus Laufen seriell sowohl die parallele Feder, als auch die serielle Feder mit einer Federsteifigkeit von 45.000 $\frac{N}{m}$ simuliert wurden.


Vergleich des jeweils ersten Falls

In 100 Schritten legt das Modell im Modus Laufen 141 $m$ in 29,8 $s$ zurück. Mit der gleichen Anzahl an Schritten schafft das Modell im Modus Laufen seriell nur 132 $m$, benötigt dafür jedoch lediglich 26,5 $s$. Zurückzuführen sind diese Unterschiede auf die größere Schrittlänge im Modus Laufen (1,41 $m$) im Vergleich zum Modus Laufen seriell (1,32 $m$). Dass im Modus Laufen seriell weniger Zeit vergeht, bis das Modell 100 Schritte läuft, liegt daran, dass hier die Schrittfrequenz, mit $\frac{3,77}{s}$, leicht erhöht ist (Laufen: $\frac{3,36}{s}$).
Der Realität gleicht der Modus Laufen in den Parametern Schrittfrequenz und Schrittlänge stärker. Allerdings braucht das Modell hier für eine Strecke von 100 $m$ ca. 21,13 $s$. Dieser Wert ist etwas geringer als bei einem realen Marathon.
Dort wo der Modus Laufen stärker von der Realität abweicht, weist der Modus Laufen seriell eine höhere Realitätsnähe auf. Mit ca. 20,1 $s$ für 100 $m$ ähnelt der Modus bezüglich der Geschwindigkeit den Werten eines Marathonläufers stärker. Dafür ist die Schrittfrequenz deutlich höher und die Schrittlänge deutlich geringer, als dies in der Realität der Fall ist.

Nach Kiessling ergeben sich für einen Spitzenmarathonläufer die folgenden Werte:

• Endzeit: $2:10:20 h$
• Ø Zeit für 100 $m$: $18,57 s$
• Schrittlänge: $1,75 m$
• Frequenz: $180 \frac{Schritte}{min} = 3 \frac{Schritte}{s}$
• Geschwindigkeit: ca. $5,4\frac{m}{s}$

Vergleich: Geschwindigkeiten

Die Veränderungen der Geschwindigkeiten werden hier nur tabellarisch aufgeführt und gegenübergestellt. Ein ausführlicher Vergleich würde keine neuen Erkenntnisse bringen, wie es der Vergleich der Ortswerte (oben) bereits erbracht hat.


































Vergleich: Kräfte und Winkel α









Der Modus lässt sich hinsichtlich der Kräfte nur schwer mit den anderen beiden Modi vergleichen, da es sich um eine andere Bewegungsart handelt, die zudem mit anderen Startparametern simuliert wurden. Zum Vergleich werden daher Daten aus der recherchierten Literatur herangezogen. Dittrich (2005) hat in ihrer Arbeit das Verhalten eines Masse-Feder-Läufers simuliert. Der Modellaufbau entspricht also unserem Modus Gehen in Fall 1 mit deaktiviertem Aktuator und deaktiviertem Dämpfer. Der m-förmige Verlauf der Bodenreaktionskräfte (s. <imgref image2> – rechter Graph) ist in den simulierten Daten ebenfalls zu erkennen. Die vertikale Kraftamplitude stimmt mit ca. 800 $N$ in beiden Peaks ebenfalls mit dem Modell überein. Gleiches gilt für die vertikalen Bodenreaktionskräfte, die auch bei Dittrich zwischen -210 $N$ und 210 $N$ schwanken. Die ermittelten Daten gleichen darüber hinaus den von Dittrich experimentell ermittelten Daten aus der Realität (s. <imgref image2> – linker Graph).

<imgcaption image2|Bodenreaktionskräfte beim Gehen. Links: Experimentell ermittelte Kraftverläufe; Rechts: Ergebnisse der Simulation (aus Dittrich (2005, S. 50)).> </imgcaption>
Modell angenommen wird, macht ein Vergleich der Fälle untereinander hier keinen Sinn. Folglich wird darauf verzichtet. Wird der Modus Gehen mit den Modi Laufen und Laufen seriell, hinsichtlich der Bodenreaktionskräfte verglichen, fällt zunächst die deutlich geringere Amplitude der vertikalen Bodenreaktionskräfte auf. Dies gründet in der erhöhten Geschwindigkeit und der Einbeinlandephase bei den Lauf-Modi. Beim Aufkommen auf den Boden treten bei den vertikalen Bodenreaktionskräften die Maxima auf. Da bei den Lauf-Modi aus einer Flugphase gelandet wird, ist die erhöhte Bodenreaktionskraft die logische Konsequenz.
Bei den horizontalen Bodenreaktionskräften unterscheiden sich die Modi Gehen und Laufen hinsichtlich der Amplitude nur geringfügig, während die Amplitude beim Modus Laufen seriell deutlich kleiner ausfällt. Dies ist durch die Wirkung der seriellen Feder zu erklären, die einen Großteil der Bodenreaktionskräfte auffängt.

Dittrich, E. (2005). Kontrollstrategien für den Gangartwechsel zwischen Gehen und Laufen am Beispiel des Masse-Feder Templates. Diplomarbeit. Ilmenau: Fakultät für Maschinenbau.

Seyfarth, A., Geyer, H., Günther, M. & Blickhan, R. (2002). A movement criterion for running. Journal of biomechanics 35 (S. 649-655). Elsevier Science Ltd.

Geyer H. (2005). Simple models of legged locomotion based on compliant limb behavior. PhD Thesis. Jena: Fakultät für Sozial- und Verhaltenswissenschaften.

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