Wie im Hauptkapitel erwähnt, werden hier die vier Fälle zum Gehen vorgestellt.

Zunächst soll das System im Modus Gehen mit deaktiviertem Aktuator $F$ und Dämpfer $b$ untersucht werden. Hierfür wurde der entsprechende Parametersatz aus der Simulation gewählt und sowohl Dämpfer als auch Aktuator ausgeschaltet ($b = 1$, $F = 0$).
Der vollständige Parametersatz setzt sich demnach zusammen aus:

$$m = 80 kg $$ $$L_0 = 1 $$ $$k = 15.000 $$ $$v_{xy;0} =\begin{pmatrix} 1,2\frac{m}{s} \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$x_{xy;0}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 m \end{pmatrix} $$ $$\alpha_0 = 69^\circ $$ $$F=0 $$ $$b=1 $$

Dabei wird das Abbruchkriterium von 100 Schritten erreicht.
Zur Beschreibung des Systemverhaltens werden im Folgenden die Veränderung der Ortswerte in $x$- und $y$-Richtung ($x_{xy}(t)$), der Geschwindigkeit in $x$- und $y$-Richtung ($v_{xy}(t)$), der Federkraft in $x$- und $y$-Richtung ($F_{Feder;xy}(t)$) und des Winkels $\alpha$ über die Zeit betrachtet.

Beim Gehen bewegt sich das Modell in $x$-Richtung mit annähernd konstanter Geschwindigkeit, da durch ausgeschalteten Aktuator und Dämpfer die Systemenergie unverändert bleibt. In <imgref image1> ist dieser Sachverhalt durch den stetig ansteigenden $x$-Wert zu sehen. Obwohl der Graph ein lineares Verhalten vermuten lässt, wird die Kurve zum Ende hin leicht flacher, was mit einem Geschwindigkeitsverlust durch Instabilitäten mit steigender Schrittzahl und der kleinen Dämpferkonstante, die aus rechnerischen Gründen nicht Null sein darf, zu erklären ist. Dieser wird später erläutert. Insgesamt geht das Modell in 100 Metern ca. 52 Schritte, was einer durchschnittlichen Schrittlänge von 1,9 $m$ entspricht.

<imgcaption image1|Veränderung des Ortswertes über die Zeit> </imgcaption>
Die Bewegung des Modells in $y$-Richtung (s. <imgref image1>) pendelt um einen Punkt, was dem Heben und Senken des Körperschwerpunktes beim Gehen entspricht. Die Masse erreicht dann ihren jeweils höchsten Punkt, wenn nur ein Bein Bodenkontakt hat und den jeweils höchsten Punkt (Apex), wenn beide Beine mit dem Boden Kontakt haben. Die Amplitude der Veränderung pendelt bei den ersten zehn Schritten ca. zwischen 0,9 $m$ und 1 $m$, nimmt jedoch langsam ab. Im mittleren Teil der Simulation stabilisiert sich die Pendelbewegung in einem Intervall von ca. 0,91 bis 0,97. Gegen Ende kommt es zu einigen Störungen, die das System jedoch (zunächst) noch ausgleichen kann.

Die Geschwindigkeit der Modellbewegung in $x$- und $y$-Richtung ändert sich zunächst innerhalb eines jeden Schrittzyklus. Die Geschwindigkeit in $x$-Richtung pendelt dabei zwischen 1,2-1,3 $\frac{m}{s}$. Die jeweils höchste Geschwindigkeit innerhalb eines Schrittzyklus wird dann erreicht, wenn die Abdruckphase beendet ist. Da an diesem Punkt vom Absenken ins Anheben des Massepunktes übergegangen wird, ist die Geschwindigkeit in $y$-Richtung an dieser Stelle 0 und sie kehrt sich vom Negativen ins Positive um (s. <imgref image2> – Markierung 1). Die Geschwindigkeit in $x$-Richtung nimmt dann wieder ab und erreicht ihren niedrigsten Punkt genau dann, wenn die Feder nach dem Aufsetzen auf den Boden senkrecht zu diesem steht ($\alpha=90^\circ$). Die Geschwindigkeit in $y$-Richtung ist hier erneut 0 und kehrt sich vom Positiven ins Negative um (s. <imgref image2> – Markierung 2).
Die Geschwindigkeit in $y$-Richtung alterniert zwischen positiven und negativen Werten. Dies ist gleichbedeutend mit dem Anheben und Absenken des Massepunktes (s. <imgref image1> – gelber Graph).

<imgcaption image2|Veränderung der Geschwindigkeit in x- und y-Richtung über die Zeit während drei Schrittzyklen.> </imgcaption>
Auf die gesamte Simulationsdauer gesehen (100 Schritte), lassen sich, unabhängig von den beschriebenen Geschwindigkeitsverläufen innerhalb eins Schrittzyklus, zwei weitere Tendenzen erkennen. Analog zur Veränderung der Ortswerte über die Zeit (s. <imgref image1>) zeigt auch der Verlauf der Geschwindigkeit über die Zeit (s. <imgref image3>) die bereits genannten Tendenzen. Die Geschwindigkeit in $x$-Richtung nimmt gegen Ender der Simulationsdauer leicht ab und die jeweiligen aufeinanderfolgenden Maximal- und Minimalgeschwindigkeitswerte fluktuieren stärker. Dies ist gleichbedeutend mit der leichten Abflachung der Ortskurve in x-Richtung. Die Geschwindigkeit in $y$-Richtung pendelt sich im Laufe der Simulation zwischen $0.4$ und $\unit{-0.4}$ ein. Die jeweiligen aufeinanderfolgenden Maximal- und Minimalgeschwindigkeitswerte fluktuieren zum Ende der Simulation ebenfalls stärker. Dieses Verhalten lässt sich ebenfalls in der Ortskurve in $y$-Richtung erkennen.erhalten lässt sich ebenfalls in der Ortskurve in $y$-Richtung erkennen.

<imgcaption image3|Veränderung der Geschwindigkeit in x- und y-Richtung über die Zeit während 100 Schrittzyklen.> </imgcaption>

Die Federkraft in $x$- und $y$-Richtung ist gleichbedeutend mit den Bodenreaktionskräften, die in der Literatur bei vielen Experimenten als Referenzgröße herangezogen werden. Die Federkraft in $x$-Richtung entspricht dabei unter Vernachlässigung der Dämpferkraft den horizontal wirkenden Bodenreaktionskräften, während die Federkraft in $y$-Richtung den vertikalen Bodenreaktionskräften entspricht. Bei Betrachtung der Federkraft über die Zeit lässt sich das fürs Gehen typische Muster erkennen. Im Gegensatz zum Laufen gibt es für die vertikale Federkraft zwei Peaks, anstatt nur einem (s. <imgref image4>). Der erste Peak tritt dann auf, wenn das Standbein die maximale Kraft in $y$-Richtung entwickelt und das zweite Bein in die Schwungphase übergeht. Im Minimum der vertikalen Federkraft befindet sich der Massepunkt in $y$-Richtung am höchsten Punkt (Apex). Sobald das Schwungbein wieder auf den Boden auftrifft, kommt es zum zweiten Kraftpeak. Die horizontale Kraftkomponente ist beim Aufkommen des Beins vorerst negativ, da jene in die entgegengesetzte Richtung der Massenbewegung in $x$-Richtung zeigt und die Masse so bremst. Sobald das Bein senkrecht zum Boden steht und der $x$-Wert der Punktmasse den $x$-Wert des Fußes übertrifft, beschleunigt die Feder die Masse in x-Richtung wieder positiv und unterstützt die Bewegung. Die Kraftkomponente in $x$-Richtung ist somit positiv.

<imgcaption image4|Veränderung der Federkraft über die Zeit während eines Schrittzyklus.> </imgcaption>

Der Winkel $\alpha$ wird als Landewinkel bei der Initialisierung des Systems festgelegt. Bei dem verwendeten Parametersatz wurde sein Wert mit 69° (für beide Beine) festgelegt. Dies erklärt das jeweilige Minimum des Winkelverlaufes. Nachdem die Feder auf dem Boden aufgesetzt hat, vergrößert sich der Winkel α solange, bis die Feder den Boden wieder verlässt. Dies ist bei der gegebenen Parameterwahl bei einem Winkel von ca. 112° der Fall. Nachdem die Feder den Boden verlässt und das Bein in die Schwungphase übergeht, wird der Winkel α auf 180° festgelegt, was die Plateaus zwischen den Anstiegen erklärt (s. <imgref image5>).

<imgcaption image5|Veränderung des Winkels α über die Zeit während eines Schrittzyklus.> </imgcaption>

Im Folgenden wird der Modus „Gehen“ mit aktiviertem Aktuator und deaktiviertem Dämpfer mit dem beschriebenen Parametern verglichen werden um daraus Rückschlüsse auf die Verwendung eines Aktuators zu ziehen.
Das im Simulationsabschnitt beschriebene Vorgehen hat für das Modell mit aktiviertem Aktuator und deaktiviertem Dämpfer keinen Parametersatz validieren können, mit dem das Abbruchkriterium von 100 Schritten erreicht werden konnte. Die Anzahl der möglichen Schritte variierte zwischen 1 – 6.
Im Folgenden sollen die Daten dennoch analysiert werden um auf mögliche Ursachen hinzuweisen. Auf eine Unterteilung der Daten wurde dabei verzichtet. Hierzu wurde für das Modell ein Parametersatz gewählt, mit dem eine Schrittanzahl von vier erreicht wurde. Der vollständige Parametersatz setzt sich zusammen aus:

$$m = 80 kg $$ $$L_0 = 1 $$ $$k = 15.000 $$ $$v_{xy;0} =\begin{pmatrix} 1,2\frac{m}{s} \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$x_{xy;0}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 m \end{pmatrix} $$ $$\alpha_0 = 69^\circ $$ $$F=20.000 $$ $$b=1 $$

Bei der Analyse der des Ortswertes in $x$-Richtung fällt bereits auf, warum das System nicht stabil laufen kann. Während im stabilen Fall 1 innerhalb der ersten 100 Schritte eine Strecke in $x$-Richtung von ca. 52 $m$ zurückgelegt wurde, kommt das Modell mit aktiviertem Aktuator und (fast) deaktiviertem Dämpfer mit vier Schritten auf eine Distanz von ca. 170 $m$. Das Modell wird sozusagen durch die Wirkung des Kraftaktuators in $x$-Richtung „weg geschossen“. In $y$-Richtung bedeutet dies, dass der erste Schritt anhand des Minimums bei ca. 0.11 noch zu erkennen ist, während die Schritte 2-4 nur noch schwer anhand der kleinen Schwankungen in der Kurve erklärbar sind (s. <imgref image6>). Dies liegt vermutlich daran, dass die Geschwindigkeit in $x$-Richtung dann schon so hoch ist, dass Feder und Aktuator kaum noch Zeit haben ihre Kraft in y-Richtung wirken zu lassen und das Modell nicht mehr positiv in y-Richtung beschleunigen können (s. <imgref image7>). Stattdessen wirken beide vielmehr in $x$-Richtung und verstärken diesen Effekt, was dazu führt, dass das Modell nach vier gegangenen Schritten umfällt.

<imgcaption image6|Veränderung des Ortswertes über die Zeit.> </imgcaption>
<imgcaption image7|Veränderung der Geschwindigkeit in x- und y-Richtung über die Zeit.> </imgcaption>
Für die Federkraft in $x$- und $y$-Richtung bedeutet dieses Verhalten, dass die Bodenkontaktzeiten so gering werden, dass kaum noch Amplituden erkennbar sind (s. <imgref image8>). Schritt 1 zeigt noch einen erkennbaren Kraftverlauf, der jedoch typischen Verlauf beim Gehen (s. <imgref image4>) nicht mehr ähnelt. Vielmehr kommt es zu einem Kraftverlauf in $y$-Richtung mit nur einem Peak und einem anschließenden Plateau bei 0, was bedeutet, dass das Modell „abhebt“ und eine Flugphase zwischen dem Bodenkontakt des rechten und dem Bodenkontakt des linken Beines zustande kommt. Damit ist das Kriterium (mind. ein Fuß hat Bodenkontakt) für den Modus Gehen nicht mehr erfüllt.

<imgcaption image8|Veränderung der Federkraft in x- und y-Richtung über die Zeit.> </imgcaption>
Die Veränderung des Winkels $\alpha$ bestätigt den Schluss, dass die Bodenkontaktzeit bereits nach dem ersten Schritt stark abnimmt, wodurch kein stabiles Gehen mehr erreicht werden kann (s. <imgref image9>).

<imgcaption image9|Veränderung des Winkels α in x- und y-Richtung über die Zeit> </imgcaption>
Zusammengefasst lässt sich für den zweiten Fall sagen, dass nur mit aktiviertem Aktuator kein stabiles Gehen erreicht werden kann. Der Grund dafür liegt darin, dass dem System durch die Kraftwirkung ständig Energie hinzugefügt wird, die an keiner anderen Stelle wieder abgefangen bzw. umgeformt wird. Dadurch „explodieren“ die Geschwindigkeitswerte, was die Bodenkontaktzeiten so reduziert, dass kaum Kraft in die positive $y$-Richtung wirken kann. Das resultiert darin, dass das Modell nach wenigen Schritten umfällt.

Wie in Fall 2, mit aktiviertem Aktuator und deaktiviertem Dämpfer, ist es auch mit aktiviertem Dämpfer und deaktiviertem Aktuator nicht möglich ein stabiles Gehen zu erreichen. Zur Analyse der Gründe wurde ein Parametersatz gewählt, mit dem eine Schrittanzahl von 2 erreicht werden konnte. Der vollständige Parametersatz setzt sich zusammen aus:

$$m = 80 kg $$ $$L_0 = 1 $$ $$k = 22.500 $$ $$v_{xy;0} =\begin{pmatrix} 1,2\frac{m}{s} \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$x_{xy;0}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 m \end{pmatrix} $$ $$\alpha_0 = 69^\circ $$ $$F=0 $$ $$b=3.000 $$

Bei der Betrachtung der Veränderung des Ortswertes über die Zeit ist zu sehen, dass das Modell sich zunächst typischerweise positiv in $x$-Richtung fortbewegt. Anders als bei Fall 1 und 2 ändert sich diese Richtung jedoch und das Modell bewegt sich negativ in $x$-Richtung und überschreitet sogar den Startpunkt, ehe es bei ca. -0.42 zum stehen kommt (s. <imgref image10> – oberer Graph). Zu erklären ist dieses Verhalten damit, dass das Modell den ersten Schritt noch reibungslos ausführen kann, allerdings beim zweiten Schritt nicht mehr über genügend Systemenergie verfügt, um über den Apex hinaus zu kommen. Es fällt demnach einfach nach hinten um. Dies erkennt man auch an der Veränderung des Ortswertes in $y$-Richtung. Der $y$-Wert senkt sich zunächst typischerweise ab und wird auch einmalig wieder positiv verändert (der Massepunkt wird angehoben). Beim zweiten Schritt kommt es dann nicht mehr zu diesem Anheben und das Modell „fällt“ auf den Boden (s. <imgref image10> – unterer Graph).

<imgcaption image10|Veränderung des Ortswertes über die Zeit> </imgcaption>
Bei der Betrachtung der Veränderung des Winkels $\alpha$ über die Zeit wird die oben angeführte Deutung unterstrichen. Der erste Schritt kann noch ausgeführt werden, was daran zu erkennen ist, dass der Winkel vom Zeitpunkt des Auftreffens auf dem Boden, bis zum Abdruckpunkt stetig größer wird (s. <imgref image11> – gelber Graph). Beim zweiten Schritt ist dann nicht mehr genügend Energie im System vorhanden, um den Massepunkt über den Apex hinaus zu bewegen und das Bein vom Boden abzuheben. Das Modell „fällt nach hinten“, was durch den kleiner werdenden Winkel α zu sehen ist (s. <imgref image11> – lila Graph).

<imgcaption image11|Veränderung des Winkels α über die Zeit.> </imgcaption>
Zusammengefasst lässt sich für den dritten Fall sagen, dass nur mit aktiviertem Dämpfer kein stabiles Gehen erreicht werden kann. Der Grund dafür liegt darin, dass dem System durch den Dämpfer ständig Energie entzogen wird, die an keiner anderen Stelle wieder hinzugefügt wird. Dadurch fällt das Modell beim zweiten Schritt einfach nach hinten um.

Als letzter Fall wird nun ein Modell mit aktiviertem Aktuator und aktiviertem Dämpfer analysiert und mit den bisherigen Ergebnissen des Modus „Gehen“ verglichen. Mit der, im Simulationsabschnitt beschriebenen Methode, wurde ein Parametersatz validiert, der das Abbruchkriterium von 100 Schritten erreicht. Der vollständige Parametersatz setzt sich zusammen aus:

$$m = 80 kg $$ $$L_0 = 1 $$ $$k = 15.000 $$ $$v_{xy;0} =\begin{pmatrix} 1,2\frac{m}{s} \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$x_{xy;0}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 m \end{pmatrix} $$ $$\alpha_0 = 69^\circ $$ $$F=20.000 $$ $$b=20.000 $$

Die Veränderung des Ortswertes in $x$-Richtung über die Zeit weist einen ähnlichen Verlauf auf, wie dies beim Modell ohne Aktuator und ohne Dämpfer der Fall war. Das Modell bewegt sich stetig positiv in $x$-Richtung (s. <imgref image6> – oberer Graph). Der Unterschied zu Fall 1 ist, dass sich die Steigung des $x$-Wertes stärker ändert. Zu Beginn der Simulation nimmt der Anstieg pro Schritt zu. Diese Steigung verringert sich mit der Dauer der Simulation jedoch mehr und mehr. Ähnliches gilt für das Absenken und Ansteigen des Massepunktes in $y$-Richtung. Die ersten zwei Schritte resultieren in einer sehr hohen Amplitude. Im Anschluss pendelt sich die Auf- und Ab-Bewegung des Massepunktes zwischen ca. 0.945–0.935 ein. Aus der Frequenz, in der die Amplituden auftreten, lässt sich schließen, dass die Schrittfrequenz mit Dauer der Simulation erhöht wird.

<imgcaption image13|Veränderung des Ortswertes über die Zeit.> </imgcaption>

Die Unterschiede bezüglich des Ortswertes lassen sich auch in der Geschwindigkeit in $x$- und $y$-Richtung erkennen. In $x$-Richtung steigt die Geschwindigkeit, zunächst steiler und dann flacher, an. Der Anstieg der von $v_x$ ist ein Hauptunterschied zu Fall 1, bei dem $v_x$ im Laufe der Simulation von 100 Schritten sogar leicht geringer wurde. Die Ursache hierfür ist die dem System durch den aktivierten Aktuator hinzugefügte Energie. Dabei scheint ein Konvergenzwert vorhanden, dem sich $v_x$ annähert. Es lässt sich vermuten, dass bei dieser Geschwindigkeit die Dämpferkraft, welche die Masse durch geschwindigkeitsabhängigen Energieentzug bremst, die vom Aktuator hinzugefügte Energie ausgleicht.

Die Geschwindigkeit in $y$-Richtung weist einen deutlich anderen Verlauf auf, als dies in Fall 1 zu erkennen war. Zu erkennen ist, dass es zwischen dem Absenken und Anheben des Massepunktes zu Plateaus kommt, in denen sich der Massepunkt in $y$-Richtung nicht verändert. Dies ist gleichzusetzen mit einer Flugphase, die jedoch eigentlich nicht erwünscht ist. Durch die Aktivierung des Aktuators und des Dämpfers weist der Modus Gehen somit Ortswertverläufe auf, die für den Modus Laufen sprechen. Befindet sich der hypothetische Läufer auf einem dieser Plateaus, so findet eine Veränderung der Geschwindigkeit in $x$-Richtung statt, da kein Bodenkontakt und so keine Beschleunigung durch den Aktuator mehr möglich ist.

<imgcaption image14|Veränderung der Geschwindigkeit in x- und y-Richtung über die Zeit.> </imgcaption>

Der für den Modus Gehen typische Verlauf der Federkraft (Bodenreaktionskraft) ist hier nicht mehr zu erkennen. Vielmehr weisen die Daten darauf hin, dass das Modell nun läuft, da es zu einer Flugphase zwischen Bodenkontakt des linken und Bodenkontakt des rechten Beins. Dies lässt sich an den Plateaus zwischen zwei Bodenkontakten erkennen, in denen sowohl die horizontale, als auch die vertikale Federkraft 0 sind (s. <imgref image7>). Ein Vergleich der Amplituden mit denen aus Fall 1 ist demnach unnütz, da es sich um zwei verschiedene Bewegungstypen handelt.

<imgcaption image15|Veränderung der Federkraft über die Zeit während eines Schrittzyklus.> </imgcaption>

Auch bei der Veränderung des Winkels α über die Zeit ist zu erkennen, dass es zwischen einem Bodenkontakt des linken Beins und dem Bodenkontakt des rechten Beins zu einer Flugphase kommt (s. <imgref image16>). Der Landewinkel ist mit 69° für beide Beine wieder als konstanter Wert definiert und wird bis zum Abdruckpunkt des Beines größer, was bei ca. 113° der Fall ist. Ein Vergleich der Werte mit denen aus Fall 1 ist hier ebenfalls unangebracht, da es sich wie bereits dargestellt um unterschiedliche Bewegungstypen handelt. Anzumerken wäre jedoch, dass der Anstieg des Winkels α während eines Bodenkontaktes deutlich schneller ist, als in [[adp_laufrobotik/adp_2012_ws_group2/auswertung/gehen#ohne_aktuator_ohne_daempfer|Fall 1] zu sehen. Dies ist mit der steigenden Geschwindigkeit in $x$-Richtung und der damit erhöhten Schrittfrequenz gleichzusetzen.

<imgcaption image16|Veränderung des Winkels α über die Zeit während eines Schrittzyklus.> </imgcaption>

indexmenu_n_2