Die vorher betrachteten Modelle bezogen sich alle auf den Feder-Masse-Dämpfer-Aktuator-Komplex, der keine Feder vorsieht, die zu diesem Komplex in Reihe geschaltet wird. Der Komplex mit zusätzlicher serieller Feder wird im Folgenden genauer betrachtet.

Zunächst soll das System im Modus Laufen seriell mit deaktiviertem Aktuator $F$ und Dämpfer $b$ untersucht werden. Der entsprechende Parametersatz wurde nach dem im Simulationsabschnitt beschriebenen Vorgehen berechnet, wobei sowohl Dämpfer, als auch Aktuator ausgeschaltet bleiben $(b = 1, F = 0)$. Der vollständige Parametersatz setzt sich demnach zusammen aus:

$$m = 80 kg $$ $$L_{1;0} = 0,5 m $$ $$L_{2;0} = 0,5 m $$ $$k_1 = 45.000 $$ $$k_2 = 45.000 $$ $$v_{xy;0} =\begin{pmatrix} 5\frac{m}{s} \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$x_{xy;0}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 m \end{pmatrix} $$ $$\alpha_0 = 69^\circ $$ $$F=0 $$ $$b=1 $$

Dabei wird das Abbruchkriterium von 100 Schritten erreicht.

Zur Beschreibung des Systemverhaltens werden im Folgenden die Veränderung der Ortswerte in $x$- und $y$-Richtung $x_{xy}(t)$, der Geschwindigkeit in $x$- und $y$-Richtung $v_{xy}(t)$, der Federkraft in $x$- und $y$-Richtung $F_{Feder;xy}(t)$ und des Winkels $\alpha(t)$ über die Zeit betrachtet.
Angemerkt sei an dieser Stelle, dass die Simulation scheinbar erst bei ca. 3.5 $s$ mit der Aufzeichnung der Werte beginnt. Die Ursache hierfür konnte bis zur Abgabe dieser Ausarbeitung nicht eindeutig geklärt werden. Die Werte können dennoch als repräsentativ für das Modellverhalten angesehen werden.
In $y$-Richtung pendelt die Bewegung zwischen ca. 0.955 $m$ und 0.9 $m$. Dies ist gleichbedeutend mit dem Absenken und Anheben des Massepunktes während der Schrittzyklen. Gegen Ende der Simulation fällt die Amplitude der y-Bewegung stärker aus (s. <imgref image1> – unterer Graph). Es bleibt jedoch (zunächst) stabil.
Das Modell läuft die 100 Schritte in ca. 26.5 $s$, was einer Frequenz von ca. $\frac{226}{min}$ entspricht.

<imgcaption image1|Veränderung der Ortswerte in x- und y-Richtung über die Zeit.> </imgcaption>

Die Veränderung der Ortswerte weist ein Verhalten auf, wie es bei einem stabilen Laufen zu erwarten ist. In $x$-Richtung bewegt sich das Modell stetig positiv in $x$-Richtung fort (s. <imgref image1> – oberer Graph). Der Verlauf hierbei ist nahezu linear (der Anstieg flacht zum Ende der Simulation etwas ab, s. <imgref image3> (oberer Graph), und das Modell legt in den 100 Schritten einen Weg von ca. 132 $m$ zurück, was einer durchschnittlichen Schrittlänge von 1.32 $m$ entspricht.

Während eines einzelnen Schrittes verringert sich beim Aufkommen auf den Boden die Geschwindigkeit in $x$-Richtung zunächst. Sobald die Feder wieder Kraft abgibt, sie also beginnt sich auszudehnen, wird das Modell in $x$-Richtung beschleunigt und erreicht nach Abheben vom Boden in der Flugphase ein Geschwindigkeitsplateau in $x$-Richtung (s. <imgref image2> – oberer Graph). Dass die Geschwindigkeit während der Flugphase nicht abnimmt ist aufgrund der, im Modellierungsabschnitt aufgezeigten, Vernachlässigungen zu erklären. Die Geschwindigkeit in $x$-Richtung beträgt zu Beginn der Simulation 5 $\frac{m}{s}$. Diese wird nach jedem Bodenkontakt nicht mehr vollständig erreicht, was in der tendenziellen Abnahme der Geschwindigkeit in $x$-Richtung zu sehen ist (s. <imgref image3> – oberer Graph). Diese lässt sich auf die Wirkung der kleinen Dämpferkonstante zurückführen.

In $y$-Richtung pendelt die Geschwindigkeit zwischen 0.7 und -0.7 $\frac{m}{s}$. Dies ist, analog zur Veränderung des Ortswertes in $y$-Richtung, gleichbedeutend mit dem Absenken und Anheben des Massepunktes während der Schrittzyklen. Wie in der Betrachtung der Ortswerte bereits erwähnt, nimmt die Amplitude der Veränderung in $y$-Richtung zum Ende der Simulation zu, was sich auch an den stärker fluktuierenden Werten der Geschwindigkeit in $y$-Richtung erkennen lässt (s. <imgref image3> – unterer Graph). Hierbei ist erneut auf die Wirkung des Dämpfers zu verweisen.

<imgcaption image2|Veränderung der Geschwindigkeit in x- und y-Richtung über die Zeit während drei Schrittzyklen.> </imgcaption>
<imgcaption image3|Veränderung der Geschwindigkeit in x- und y-Richtung über die Zeit während 100 Schrittzyklen.> </imgcaption>

In <imgref image4> sind die Federkraftverläufe der seriellen und parallelen Federn aufgezeigt. Diese sind nach $x$- und $y$-Richtung getrennt dargestellt. Die $x$-Komponente der parallelen Feder ist mit der Farbe Gelb, die $y$-Komponente dieser Federkraft ist durch den blauen Graphen dargestellt. Den Kraftverlauf der seriellen Feder in $x$-Richtung beschreibt der lila eingefärbte Graph, $y$-Komponente wird durch den roten Graphen dargestellt.

<imgcaption image4|Veränderung der Federkraft über die Zeit während eines Schrittzyklus.> </imgcaption>
Die Kraftverläufe zeigen das erwartete Verhalten auf. Bei einem Aufsetzvorgang wird zunächst die parallele Feder schlagartig gestaucht, die serielle Feder hingegen bleibt zunächst auf der Ausgangslänge und folgt der Bewegung nach. Aufgrund der schlagartigen Stauchung ergeben sich Federkraftverläufe der parallelen Feder, die nicht bei dem Wert Null beginnen, sondern bereits bei Beginn eines Schrittes einen Wert besitzen. Die $x$-Komponente der parallelen Federkraft (gelber Graph) beginnt bei einem negativen Wert, wirkt somit der Laufrichtung entgegen. Überholt die $x$-Position der Punktmasse die des Fußes, wechselt der Wert der Federkraft in $x$-Richtung das Vorzeichen. Die parallele Feder beschleunigt nun die Punktmasse in $x$-Richtung. Durch die schlagartige Stauchung beginnt auch die $y$-Komponente der parallelen Federkraft (blauer Graph) bei einem Wert ungleich Null. Der Wert nimmt zu, solange die Feder weiter gestaucht wird. Sobald das Maximum dieser Kraft erreicht ist, die Punktmasse also den Fuß überholt, dehnt sich die parallele Feder wieder und die Kraft nimmt wieder ab. Da die Flugphase unberücksichtigt bleibt, werden die Werte der parallelen Federkraft zwischen zwei Standphasen auf dem Wert gehalten, den sie beim Ende der letzten Standphase eingenommen haben. Daher bleiben also die Kräfte der parallelen Feder auch während der Flugphase auf einem Wert ungleich Null. Wie bereits erwähnt, bleibt die serielle Feder bei Beginn einer Standphase zunächst auf der Ausgangslänge stehen und folgt erst während der Standphase der Bewegung der parallelen Feder. Somit beginnt sowohl die $x$-Komponente der seriellen Federkraft (lila Graph), als auch die $y$-Komponente (roter Graph) bei dem Wert Null. Das Verhalten der seriellen Feder ist jedoch analog zur parallelen Feder. Die $x$-Komponente wird zunächst negativ, verzögert also die Punktmasse solange in $x$-Richtung, bis diese den Aufsetzpunkt des Fußes überholt. Danach wird die Punktmasse in $x$-Richtung wieder beschleunigt. Die Kraft der seriellen Feder in $y$-Richtung (roter Graph) steigt analog zur parallelen Feder solange, wie die Feder gestaucht wird und sinkt wieder ab, sobald sich die Feder beginnt ausdzuehnen.

Der (Lande-)Winkel $\alpha$ wurde im simulierten Parametersatz auf 69° für beiden Beine festgelegt. Sobald ein Bein Bodenkontakt bekommt (=69°), vergrößert sich der Winkel, da sich das Modell in $x$-Richtung stetig positiv fortbewegt, bis das Bein wieder abhebt. Dies ist bei dem gegebenen Parametersatz bei einem Winkel von ca. 111° der Fall. Anschließend kommt es beim Laufen zu einer Flugphase, bei welcher der Winkel $\alpha$ als konstant gehalten wird. Der Sprung von diesem Plateau auf 69° bedeutet, dass das vorherige Schwungbein nun Bodenkontakt erhält und eine erneute Abdruckphase beginnt.

<imgcaption image5|Veränderung des Winkels α über die Zeit während eines Schrittzyklus.> </imgcaption>

Nach Kiessling ergeben sich für einen Spitzenmarathonläufer die folgenden Werte:

• Endzeit: $2:10:20 h$
• Schrittlänge: $1,75 m$
• Frequenz: $180 \frac{Schritte}{min} = 3 \frac{Schritte}{s}$
• Geschwindigkeit: ca. $5,4\frac{m}{s}$

Aus der Simulation des Läufers als reines Masse-Feder-Modell ergeben sich nachfolgende Werte:

• Schrittlänge: $132\frac{m}{100} = 1,32 m$
• Frequenz: $100 \frac{Schritte}{30 s} = 3,3 \frac{Schritte}{s}$
• Geschwindigkeit: $5\frac{m}{s}$ (vorgegeben)

Anhand der Daten aus einem realen Marathonlaufes kann geschlossen werden, dass das Modell im Modus $Laufen seriell$ Ähnlichkeiten im Bereich der Schrittfrequenz und der Schrittlänge aufweist. Durch die etwas kürzere Schrittlänge lässt sich auch die leicht erhöhte Schrittfrequenz in der Simulation erklären.

Für den Modus Laufen seriell mit aktiviertem Aktuator und deaktiviertem Dämpfer wurde mit der im Simulationsabschnitt beschriebenen Methode kein Parametersatz gefunden, mit dem eine sinnvolle Fortbewegung zustande kommt.

Als letzter Fall wird der Modus Laufen seriell mit aktiviertem Aktuator und deaktiviertem Dämpfer analysiert und mit den bisherigen Ergebnissen des Modus Laufen seriell verglichen. Mit der im Simulationsabschnitt beschriebenen Methode wurde ein Parametersatz validiert, der das Erfolgskriterium von 100 Schritten erreicht. Der vollständige Parametersatz setzt sich zusammen aus:

$$m = 80 kg $$ $$L_{1} = 0,5 m $$ $$L_{2} = 0,5 m $$ $$k_1 = 40.000 $$ $$k_2 = 40.000 $$ $$v_{xy;0} =\begin{pmatrix} 5\frac{m}{s} \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$x_{xy;0}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 m \end{pmatrix} $$ $$\alpha_0 = 69^\circ $$ $$F=1.000 $$ $$b=0 $$

Die Veränderung des Ortswertes in $x$-Richtung verläuft, wie bei Fall 1, stetig positiv. Dabei nimmt die Steigung im Laufe der Simulation leicht zu, was in <imgref image5> (oberer Graph) jedoch nur schwer zu erkennen ist. Die ansteigende Geschwindigkeit (s. <imgref image8> – gelber Graph) zeigt diesen Zusammenhang. Im Vergleich zu Fall 1 ist die zurückgelegte Strecke mit ca. 168 $m$ ebenfalls (um etwa 40 $m$ höher. Dies lässt sich ebenfalls auf die ansteigende Geschwindigkeit zurückführen. Die Veränderung des Ortswertes in $y$-Richtung pendelt auch in diesem Fall, was das Absenken und Anheben des Massepunktes darstellt (s. <imgref image6> – unterer Graph). Im Gegensatz zu Fall 1 nimmt die Amplitude dieses Pendelns jedoch im Laufe der Simulation ab, was darauf zurückzuführen ist, dass die Geschwindigkeit in $x$-Richtung zunimmt und die Feder und der Aktuator dadurch weniger Zeit haben ihre Kraft in $y$-Richtung wirken zu lassen.

<imgcaption image6|Veränderung der Ortswerte in x- und y-Richtung über die Zeit.> </imgcaption>

Die Änderung der Geschwindigkeit in $x$-Richtung während eines Schrittzyklus weist einen ähnlichen Verlauf auf, wie er in Fall 1 beschrieben ist. Mit dem Bodenkontakt der Feder verringert sich die Geschwindigkeit der Punktmasse in $x$-Richtung zunächst und wird durch das Ausdehnen wieder erhöht (s. <imgref image7> – gelber Graph). Durch die Wirkung des Aktuators wird die Geschwindigkeit auf ein höheres Niveau gebracht, als vor dem Aufsetzen auf den Boden. Dadurch steigt die Geschwindigkeit in $x$-Richtung im Laufe der Simulation auch ständig leicht an (s. <imgref image8> – gelber Graph). Dies erklärt auch, warum die Geschwindigkeit in x-Richtung in <imgref image7>, mit ca. 5.4$\frac{m}{s}$ während der Flugphase, im Vergleich zu Fall 1 (ca. 5.0 $\frac{m}{s}$), erhöht ist. In $y$-Richtung ist ein Verhalten zu erkennen, welches analog zu Fall 1 ist. Wieder pendelt die Geschwindigkeit zwischen positiven und negativen Werten, was dem Absenken und Anheben des Massepunktes während eines Schrittzyklus gleichkommt. Lediglich die Amplitude (ca. zwischen 1 und -1) ist im Vergleich zu Fall 1 erhöht (s. <imgref image7> – lila Graph), was durch die Wirkung des Aktuators zu erklären ist.

<imgcaption image7|Veränderung der Geschwindigkeit in x- und y-Richtung über die Zeit während zwei Schrittzyklen.> </imgcaption>
<imgcaption image8|Veränderung der Geschwindigkeit in x- und y-Richtung über die Zeit während 100 Schrittzyklen.> </imgcaption>

Die Kraftverläufe der parallelen und seriellen Feder sind wiederum in $x$- und $y$-Richtung getrennt aufgetragen worden und in <imgref image4> dargestellt. Analog zum Fall Ohne Aktuator - Ohne Dämpfer, stellen die Graphen mit der Farbe Gelb und Blau, die $x$-, bzw. $y$-Komponente der parallelen Federkraft dar. Die Graphen mit den Farben Lila und Rot stellen analog dazu die $x$- und $y$-Komponente der seriellen Federkraft dar.

<imgcaption image9|Veränderung der Federkraft über die Zeit während eines Schrittzyklus.> </imgcaption>
Die Verläufe der einzelnen Kräfte wurden bereits im Fall Ohne Aktuator - Ohne Dämpfer beschrieben. So ergibt sich auch hier wieder ein schlagartige Anstieg der Federkräfte der parallelen Federn auf einen Wert ungleich Null und ein Nachfolgen der Kräfte der seriellen Feder. Der einzige Unterschied zu den Kraftverläufen des vorherigen Falls ist durch den zugeschalteten Aktuator zu erklären. Dieser erzeugt eine konstante Kraft, die zugeschaltet wird, sobald die Standphase beginnt. Aus diesem Grund erhöhen sich die Werte aller Graphen bei Beginn einer Standphase schlagartig um den $x$- bzw. $y$-Wert der zugeschalteten Kraft. Die Aufteilung der zugeschalteten Kraft geschieht über den Landewinkel alpha0. Gut zu sehen ist dieses Verhalten bei der $y$-Komponente der parallelen Feder (blauer Graph). Durch die schlagartige Stauchung dieser Feder springt der Graph zunächst auf einen Wert ungleich Null. Dieser Wert wird zusätzlich um den $y$-Anteil der zugeschalteten Kraft erhöht, weshalb der Graph einen weiteren Sprung um diesen Wert durchführt. Dieses sprunghafte Verhalten ist bei allen vier Graphen zu erkennen und analog zu deuten.

Der (Lande-)Winkel $_alpha_0$ wurde auch in diesem simulierten Parametersatz auf 69° für beiden Beine festgelegt. Der Anstieg des Winkels, vom Zeitpunkt des Bodenkontaktes an, ist etwas steiler als in Fall 1. Dies liegt an der Wirkung des Aktuators, der dem System stetig Energie hinzufügt und somit, wie bereits erwähnt, die Geschwindigkeit in $x$-Richtung erhöht. Dadurch verringert sich die Bodenkontaktzeit und der Winkel α steigt schneller an (s. <imgref image10>). Ein weiterer Unterschied zur Veränderung des Winkels in Fall 1 ist, dass die Feder vom Boden erst bei einem Winkel von ca. 114° abhebt, anstatt bei ca. 111°. Auch dies lässt sich auf die erhöhte Geschwindigkeit in $x$-Richtung zurückführen, da der Massepunkt sich schneller bewegt, während die Feder genauso lange braucht, um sich auszudehnen.

<imgcaption image10|Veränderung des Winkels α über die Zeit während eines Schrittzyklus.> </imgcaption>

Nach Kiessling ergeben sich für einen Spitzenmarathonläufer die folgenden Werte:

• Endzeit: $2:10:20 h$
• Schrittlänge: $1,75 m$
• Frequenz: $180 \frac{Schritte}{min} = 3 \frac{Schritte}{s}$
• Geschwindigkeit: ca. $5,4\frac{m}{s}$

Aus der Simulation des Läufers als reines Masse-Feder-Modell ergeben sich nachfolgende Werte:

• Schrittlänge: $168\frac{m}{100} = 1,68 m$
• Frequenz: $100 \frac{Schritte}{31 s} = 3,2 \frac{Schritte}{s}$
• Geschwindigkeit: $5\frac{m}{s}$ (vorgegeben)

Die mit der Simulation ermittelten Daten gleichen denen aus der Realität besser, als die Daten aus Fall 1. Eine erhöhte Schrittlänge und dafür leicht verringerte Schrittfrequenz weisen eine höhere Realitätsnähe auf. Dadurch, dass die Geschwindigkeit in $x$-Richtung jedoch stetig zunimmt und dieser Effekt bei einer längeren Simulation noch verstärkt würde, wird das Modell im Modus Laufen seriell mit aktiviertem Aktuator und deaktiviertem Dämpfer früher oder später diese Realitätsnähe verlassen. Die ständige Zunahme der Geschwindigkeit in $x$-Richtung wird das Modell instabil machen.

Für den Modus Laufen seriell mit deaktiviertem Aktuator und aktiviertem Dämpfer wurde mit der im Simulationsabschnitt beschriebenen Methode ebenfalls kein Parametersatz gefunden, mit dem eine sinnvolle Fortbewegung zustande kommen kann.

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