DYN4 Rotation

Modul DYN4 Rotation
Kategorie Dynamik
Autor Gossmann, Dahms
Voraussetzung DYN2, DYN3
Bearbeitungsdauer ca. 30 Minuten


Lernziele

Lehrveranstaltung Lernziele
PS Biomechanik - Grundgrößen kennenlernen
- deren Abhängigkeien verstehen
PS Forschungsmethoden 2 - Was sind MTM und Drehmoment?

Einleitung

Nachdem zuvor die translatorischen Aspekte der Dynamik besprochen wurden, geht es in diesem Kapitel um Rotationsbewegungen. Dabei wird genauer analysiert, wie Rotationen durch die Größe Drehmoment erzeugt werden, wie sie durch die Größe Drehimpuls beschrieben werden und es werden die Kräfte vorgestellt, die auf den rotierenden Körper wirken: Zentrifugal- und Zentripetalkraft.

Einführendes Beispiel

Als Einstieg ein Twisted Butterfly in Slow Motion:

Zuerst die einleitenden und vorbereiteden Schritte und dann die Körperlängsachserotation in horizontaler Fluglage. Was davon ist jetzt das Drehmoment und was der Drehimpuls? Und wie wirken diese Kräfte, damit die Rotation gelingt?

Drehmoment

Das Drehmoment ist für die Rotation die analoge Größe zur Kraft in der Translation. Wo ist aber der Unterschied zwischen Kraft und Drehmoment?
Der entscheidende Unterschied ist die jeweilige resultierende Bewegung. Eine Kraft hat eine Wirkungsrichtung, greift sie den Masseschwerpunkt an wird eine Translation erzeugt, greift sie abseits des Massenschwerpunkts an, so nennt man die auftretende Größe (bestehend aus Kraft und Abstand zum Masseschwerpunkt) Drehmoment und es entsteht eine Rotation. Hier ein Vergleich:

Abb. 1: Vergleich der Translation und Rotation durch Krafteinwirkung

Der rote Punkt soll das Massezentrum sein. Die rote Linie kennzeichnet die Kraft, sowie die Wirkungsrichtung.

Der entstandene Hebelarm (durch die dezentrale Krafteinwirkung) ergibt mit der Kraft das Drehmoment, welches die Rotation (blauer Pfeil) impliziert. Die Intensität des Drehmoments lässt sich durch Multiplikation des Abstands mit der Kraft bestimmen. Das Symbol für das Drehmoment ist $M$ und die Formel lautet:

$\vec{M} = \vec{F} * r$

Dabei beschreibt $r$ (=Radius) den senkrechten Abstand vom Kraftvektor zum Massezentrum. Das gilt zumindest dann, wenn die Kraft und der Radius senkrecht zueinander stehen. Ist dies nicht der Fall, muss man zur Beschreibung des Abstandes den Sinus des Winkels zwischen Kraftvektor und Radius benutzen:

$\vec{M} = \vec{F} * sin(\alpha) * r$

Diese Konstellation soll anhand folgender Abbildung nochmals verdeutlicht werden:

Abb. 2: Drehmoment (Seyfarth, 2011, S. 9)

Die Einheit des Drehmoments ist übrigens Newtonmeter $[Nm]$. Das kann man anhand der Formel sehen, denn man multipliziert eine Kraft (Einheit: Newton $[N]$) mit einem Abstand (Einheit: Meter $[m]$).

Am Beispiel des Turners lässt sich die Entstehung einer Rotation durch ein Drehmoment gut erkennen:
Das Bild ist bei Sekunde 13 aufgenommen. Man guckt genau auf die Drehachse, die hier durch den KSP des Turners (ca. auf Bauchnabelhöhe) verläuft. Durch den Anlauf vor dem Sprung bewegt sich der Turner während er fliegt in x-Richtung weiter. Die Drehung, die er währenddessen ausführt, entsteht folgendermaßen:
Durch Abdruck seines Beines erzeugt der Turner eine Kraft F. Diese verläuft nicht durch den KSP sondern hat einen Abstand h (Hebelarm) zu diesem. Multipliziert man jetzt, wie oben gelernt, die Kraft F mit dem Hebelarm h erhält man das Drehmoment, was schließlich zur Rotation um die Körperlängsachse (hier in horizontaler Lage) führt.







Massenträgheitsmoment

Das Massenträgheitsmoment ist das Pendant zur Masse bei Betrachtung von Drehbewegungen. Es ist (wie die Masse bei einer Translation) ein Maß für die Trägheit (Widerstand) eines Körpers, die überwunden werden muss, damit eine Rotation entsteht.
Das Massenträgheitsmoment (MTM) ergibt sich aus der Summe der quadrierten Abstände der einzelnen Körperpunkte zur Drehachse. Dies bedeutet, je weiter weg sich ein Körperpunkt von der Drehachse befindet, desto größer ist das MTM. Daher ist das MTM eines gestreckten Saltos größer, als das eines gebückten Saltos und das wiederrum größer, als das eines gehockten Saltos. Das Symbol des MTM ist $I$ und die Einheit ist $[kg\:m^2]$. Es lässt sich mittels folgender Relationen berechnen:

$I = \sum{ m_i*r_{i}^2}$

Der Parameter $m$ entspricht der Masse eines Körperpunktes und $r$ ist dessen Abstand zur Drehachse. Der Abstand wird quadriert, denn je weiter weg sich ein Körperpunkt zur Drehachse befindet, desto mehr wird er gewichtet. Das Summenzeichen besagt, dass alle Körperpunkte hierbei zusammen addiert werden.

Bei unserem Videobeispiel liegt lediglich der linke Arm am Körper an, beide Beine und der rechte Arm stehen ab. Durch anlegen der Arme an den Körper und das Hinführen der Beine in Richtung der Drehachse, würde sich das Massenträgheitsmoment verringern und sich die Geschwindigkeit der Rotation erhöhen. Welche Ursache diesem Ereignis zugrunde liegt wird im folgendem Kapitel erläutert.


Drehimpuls

Der Begriff wurde bereits zuvor im Kapitel Translation erläutert, in diesem Fall wird er auf die rotatorischen Bewegungen übertragen und als Drehimpuls bezeichnet. Wenn man den Impuls als „Wucht“ bezeichnen möchte (mit der ein Boxer seinen Gegner trifft), so bezeichnet der Drehimpuls den „Drall“ eines Körpers. Der Impuls beschreibt also den Zustand des Körpers, die Bewegung und gehört zu den Erhaltungsgrößen. Trifft der Boxer seinen Gegner so übergibt er auch den Impuls an seinen Gegner. Beim Drehimpuls verhält es sich ebengleich. Ein Beispiel aus dem Billard. Die weiße Kugel wird seitliche angestoßen und erfährt einen Drehimpuls, sie rollt nicht nur auf die Zielkugel zu, sondern rotiert auch noch um die vertikale Achse. Trifft die weiße Kugel, so übergibt sie auch diesen Drehimpuls an die Zielkugel weiter. Für den Impuls lautet die Formel $\vec{p} = m * \vec{v}$. Für den Drehimpuls müssen wir die Translationsparamter durch die Rotationsparameter ersetzen. Die Masse $m$ wird durch das Massenträgheitsmoment $I$ ausgetauscht und die Geschwindigkeit $v$ durch die Winkelgeschwindigkeit $\omega$. Der Drehimpuls hat das Symbol $L$ und die Einheit Newton * Meter * Sekunde $[Nms]$. Die fertige Formel lautet:

$\vec{L} = I * \vec{\omega}$

Betrachtet man nun noch die Zeit während des Drehimpuls so sagt Kassat (1993, S. 135, zitiert nach BioPrinz) „Wenn ein Drehmoment ($M$) eine Zeit ($t$) lang wirkt, dann erhält eine Drehmasse ($I$) über diese Zeit eine Winkelbeschleunigung ($\vec{\alpha}$), so dass daraus für die Drehmasse eine Winkelgeschwindigkeit ($\vec{\omega}$) resultiert“. Also:

$M * t = I * \vec{\alpha} * t = I * \vec{\omega}$

Führt man die Formel zurück auf $M * t = I * \vec{\alpha} * t$ und kürzt dann das $t$ heraus, ergibt sich $M = I * \vec{\alpha}$ als eine weitere Formel zur Bestimmung des Drehmoments.

Drehimpulsstoß

Analog zum Kraftstoß gibt es für Drehbewegungen den Drehimpulsstoß. Wie auch beim Kraftstoß ist der Drehimpulsstoß eine Veränderung des Drehimpulses in einem bestimmten Zeitraum, deswegen ist das Symbol $\Delta{\vec{L}}$. Beim Kraftstoß ist es die Fläche in einem Kraft-Zeit-Diagramm in einem definiertem Zeitinterval (zwischen $t_1$ und $t_2$). Für die Drehbewegung ist es also die Fläche unter einem Drehmoment-Zeit-Diagramm in einem definiertem Zeitinterval (zwischen $t_1$ und $t_2$). Also die Formel:

$\Delta{\vec{L}} = \int_{t_1}^{t_2} \! M(t) \, \mathrm{d}t$

Entfernt man das Zeitinterval, ergibt das eine weitere Formel zur Bestimmung des Drehimpulses:

$\vec{L} = \int \! M(t) \, \mathrm{d}t$


Drehimpulserhaltungssatz

Wie oben erwähnt handelt es sich bei dem Drehimpuls um eine Erhaltungsgröße. Das Drehimpulserhaltungsgesetz besagt, dass der Gesamtimpuls einer Drehbewegung erhalten bleibt. Das heißt das Produkt aus Massenträgheitsmoment $I$ und Winkelgeschwindigkeit $\omega$ bleibt konstant (vgl. BioPrinz):

$I_1 * \omega_1 = I_2 * \omega_2$

Ein Beispielvideo:

Zuerst der Spin und am Ende der Übergang in die Pirouette. Was passiert dabei? Das Massenträgheitsmoment wird verringert und die Winkelgeschwindigkeit sichtlich erhöht. Das MTM und die Winkelgeschwindigkeit stehen in einem Anti-proportionalem Verhältnis.

Zentrifugal- & Zentripetalkraft

Welche Kräfte wirken eigentlich auf den Rotationskörper? Das hängt vom Beobachter ab. Beispiel: Ein Person hält ein Kind an beiden Händen fest und dreht sich, sodass das Kind im Kreis schleudert. Es gibt zwei Beobachter: Die Person, die das Kind schleudert und eine weitere außenstehende Person, die dem Schauspiel zusieht. Die Person, die das Kind festhält wird in etwa Aussagen: „Das Kind hat ganz schön nach außen weggezogen“ während die außenstehende Person feststellt: „Die Person in der Mitte hat das Kind festgehalten, sonst wäre es doch 'weggeflogen'“. Der Beobachter in einem rotierenden System nimmt die vom Zentrum nach außen gerichtete Zentrifugalkraft (auch Fliehkraft bezeichnet) war, während ein außenstehender Beobachter die zum Zentrum gerichtete Zentripetalkraft (auch Zentral- oder Radial- oder Normalkraft bezeichnet) wahrnimmt.

Beispiel:

Abb.3: Radfahrer Zentrifugalkraft & Zentripetalkraft (Gressmann, 2002, Bild 74 - S. 84)

Das Bild zeigt einen Fahrradfahrer in der Kurve. Aus Fliehkraft ($F_F$) und Normalkraft ($F_N$) bilden sich die Drehmomente M ($F_F * h$ und $F_M * h$) um den Auflagepunkt A. Fliehkraft und Normalkraft gleichen sich aus, damit der Fahrer im Gleichgewicht bleibt.

Zusammenfassung

Zur Zusammenfassung über dieses Kapitel dient die folgende Tabelle, die die Relationen zwischen den translatorischen und den rotatorischen Grundgrößen nochmals aufführt:

Translation Symbol Symbol Rotation
Kraft $\vec{F}$ $\vec{M}$ Drehmoment
Masse $m$ $I$ Massenträgheitsmoment
Impuls $\vec{p}$ $\vec{L}$ Drehimpuls
Kraftstoß $\Delta{\vec{p}}$ $\Delta{\vec{L}}$ Drehimpulsstoß

Alle Formeln finden sich auch unter der Formelsammlung wieder.

Beispiele, Übungen und Quiz

Weitere Beispiele, Übungen und ein Quiz finden sich im BioPrinz:


Zum Abschluss noch einmal die Tutorial-Reihe zum Kapitel DYN4:



Kontrollfragen

1. Durch was wird das Massenträgheitsmoment beeinflusst und in welchem Zusammenhang steht es mit der Winkelgeschwindigkeit?
2. Was ist der Unterschied zwischen dem Drehimpuls und dem Drehimpulsstoß?
3. Worin unterscheidet sich das Drehmoment von der Kraft und wie trägt der Unterschied zum Drehmoment bei?
4. Welche Rolle ist für die Betrachtung von Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft wichtig?


Literatur

  • IFS Lernplattform „Biomechanische Prinzipien im Sport“ (nach Hochmut) BioPrinz
  • Gressmann, M. (2002). Fahrradphysik und Biomechanik (7. Aufage). Kiel: Moby Dick Verlag.
  • Seyfarth, A. (2011). Grundlagen der Biomechanik. Teil B: Dynamik der Rotation. Präsentationsfolien im Rahmen des PS Biomechanik WS 2011/12. Darmstadt: Institut für Sportwissenschaften.



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biomechanik/dynamik/dyn04.txt · Zuletzt geändert: 31.10.2016 17:12 von Filip Cengic
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