Nachdem zuvor die translatorischen Aspekte der Dynamik besprochen wurden, geht es in diesem Kapitel um Rotationsbewegungen. Dabei wird genauer analysiert, wie Rotationen durch die Größe Drehmoment erzeugt werden, wie sie durch die Größe Drehimpuls beschrieben werden und es werden die Kräfte vorgestellt, die auf den rotierenden Körper wirken: Zentrifugal- und Zentripetalkraft.

Als Einstieg ein Twisted Butterfly in Slow Motion:

Wir sehen zuerst die einleitenden, vorbereitenden Schritte und dann die Rotation um die Körperlängsachse in horizontaler Fluglage. Was davon ist jetzt das Drehmoment und was der Drehimpuls? Und wie wirken diese Kräfte, damit die Rotation gelingt?

Das Drehmoment ist für die Rotation die analoge Größe zur Kraft in der Translation. Wo ist aber der Unterschied zwischen Kraft und Drehmoment?

Der entscheidende Unterschied ist die jeweilige resultierende Bewegung. Eine Kraft hat eine Wirkungsrichtung. Greift sie im Masseschwerpunkt an wird eine Translation erzeugt, greift sie abseits des Massenschwerpunkts an, so nennt man die auftretende Größe (bestehend aus dem Produkt der Kraft und dem Abstand zum Masseschwerpunkt) Drehmoment und es entsteht eine Rotation. Hier ein Vergleich:

Abb. 1: Vergleich der Translation und Rotation durch Krafteinwirkung

Der rote Punkt soll das Massezentrum sein. Die rote Linie kennzeichnet die Kraft, sowie die Wirkungsrichtung.

Der entstandene Hebelarm im rechten Bild (durch die dezentrale Krafteinwirkung) ergibt mit der Kraft das Drehmoment, welches die Rotation (blauer Pfeil) hervorruft. Die Intensität des Drehmoments lässt sich durch Multiplikation des Abstands mit der Kraft bestimmen. Das Symbol für das Drehmoment ist $M$ und die Formel lautet in Vektorschreibweise:

;#; $\vec{M} = \vec{F} $ x $\vec{r}$ ;#;

Für unsere Zwecke ist es sinnvoll, die Bewegung vereinfacht in der Ebene zu betrachten. Dadurch reduziert sich die Gleichung auf:

;#; $M = F * r$ ;#;

Dabei beschreibt $r$ den senkrechten Abstand vom Kraftvektor zum Massezentrum. Das gilt zumindest dann, wenn die Kraft und der Abstandsvektor senkrecht aufeinander stehen. Ist dies nicht der Fall, muss man den Abstandsvektor mit dem Sinus des Winkels zwischen dem Kraft- und dem Abstandsvektor verrechnen, um so den auf dem Kraftvektor senkrecht stehenden Anteil (den eigentlichen Abstand) zu ermitteln. In der Ebene ergibt sich dann:

;#; $M = F * sin(\alpha) * r$ ;#;

Diese Konstellation soll anhand folgender Abbildung nochmals verdeutlicht werden:

Abb. 2: Drehmoment (Seyfarth, 2011, S. 9)

Die Einheit des Drehmoments ist übrigens Newtonmeter $[Nm]$. Das kann man anhand der Formel sehen, denn man multipliziert eine Kraft (Einheit: Newton $[N]$) mit einem Abstand (Einheit: Meter $[m]$).

Am Beispiel des Turners lässt sich die Entstehung einer Rotation durch ein Drehmoment gut erkennen:

Das Bild ist bei Sekunde 13 aufgenommen. Man guckt genau auf die Drehachse, die hier durch den KSP des Turners verläuft. Durch den Anlauf vor dem Sprung bewegt sich der Turner während er fliegt in x-Richtung weiter. Die Drehung, die er währenddessen ausführt, entsteht folgendermaßen:

Durch Abdruck seines Beines erzeugt der Turner eine Kraft F. Diese verläuft nicht durch den KSP sondern hat einen Abstand h (Hebelarm) zu diesem. Multipliziert man jetzt, wie oben gelernt, die Kraft F mit dem Hebelarm h erhält man das Drehmoment, was schließlich zur Rotation um die Körperlängsachse (hier in horizontaler Lage) führt.

Das Massenträgheitsmoment ist das Pendant zur Masse bei Betrachtung von Drehbewegungen. Es ist (wie die Masse bei einer Translation) ein Maß für die Trägheit (Widerstand) eines Körpers, die überwunden werden muss, damit eine Rotation entsteht.

Das Massenträgheitsmoment (MTM) ergibt sich aus der Summe der Produkte aus den quadrierten Abständen der einzelnen Körperpunkte zur Drehachse und der Masse dieser Körperpunkte. Dies bedeutet, je weiter weg sich ein Körperpunkt von der Drehachse befindet, desto größer ist sein Beitrag zum gesamten MTM. Daher ist das MTM eines gestreckten Saltos größer, als das eines gebückten Saltos und das wiederrum größer, als das eines gehockten Saltos. Das Symbol des MTM ist $I$ und die Einheit ist $[kg\:m^2]$. Es lässt sich mittels folgender Relationen berechnen:

;#; $I = \sum{ m_i*r_{i}^2}$ ;#;

Der Parameter $m_i$ entspricht der Masse eines Körperpunktes und $r_i$ ist dessen Abstand zur Drehachse. Der Abstand wird quadriert, denn je weiter weg sich ein Körperpunkt zur Drehachse befindet, desto mehr wird er gewichtet. Das Summenzeichen besagt, dass der Einfluss aller Körperpunkte hierbei aufaddiert wird.

Bei unserem Videobeispiel liegt lediglich der linke Arm am Körper an, beide Beine und der rechte Arm stehen ab. Durch anlegen der Arme an den Körper und das Hinführen der Beine in Richtung der Drehachse, würde sich das Massenträgheitsmoment verringern und sich die Geschwindigkeit der Rotation erhöhen. Welche Ursache diesem Ereignis zugrunde liegt wird im folgendem Kapitel erläutert.

Der Begriff Impuls wurde bereits zuvor im Kapitel Translation erläutert, in diesem Fall wird er auf die rotatorischen Bewegungen übertragen und als Drehimpuls bezeichnet. Wenn man den Impuls als „Wucht“ bezeichnen möchte (mit der ein Boxer seinen Gegner trifft), so bezeichnet der Drehimpuls den „Drall“ eines Körpers. Der Impuls beschreibt also den Zustand des Körpers und gehört zu den Erhaltungsgrößen. Trifft der Boxer seinen Gegner, so übergibt er ihm den Impuls seiner Faust. Beim Drehimpuls verhält es sich ebengleich.

Ein Beispiel aus dem Billard. Die weiße Kugel wird seitlich angestoßen und erfährt einen Drehimpuls. Sie rollt nicht nur auf die Zielkugel zu, sondern rotiert auch noch um die vertikale Achse. Trifft die weiße Kugel die Zielkugel, so übergibt sie auch ihren Drehimpuls an die Zielkugel weiter.

Für den Impuls lautet die Formel $\vec{p} = m * \vec{v}$. Für den Drehimpuls müssen wir die Translationsparamter durch die Rotationsparameter ersetzen. Die Masse $m$ wird durch das Massenträgheitsmoment $I$ ausgetauscht und die Geschwindigkeit $v$ durch die Winkelgeschwindigkeit $\omega$. Der Drehimpuls hat das Symbol $L$ und die Einheit Newton * Meter * Sekunde $[Nms]$. Die fertige Formel lautet:

;#;

$\vec{L} = I * \vec{\omega}$ ;#;

Kassat (1993, S. 135, zitiert nach BioPrinz) sagt: „Wenn ein Drehmoment ($M$) eine Zeit ($t$) lang wirkt, dann erhält eine Drehmasse ($I$) über diese Zeit eine Winkelbeschleunigung ($\vec{\alpha}$), so dass daraus für die Drehmasse eine Winkelgeschwindigkeit ($\vec{\omega}$) resultiert“. Als Formel lässt sich das wie folgt darstellen:

;#; $M * t = I * \vec{\alpha} * t = I * \vec{\omega}$ ;#;

Führt man die Formel zurück auf $M * t = I * \vec{\alpha} * t$ und kürzt dann das $t$ heraus, ergibt sich $M = I * \vec{\alpha}$ als eine weitere Formel zur Bestimmung des Drehmoments.

Analog zum Kraftstoß gibt es für Drehbewegungen den Drehimpulsstoß. Wie auch beim Kraftstoß ist der Drehimpulsstoß eine Veränderung des Drehimpulses in einem bestimmten Zeitraum, deswegen ist das Symbol $\Delta{L}$. Beim Kraftstoß ist es die Fläche in einem Kraft-Zeit-Diagramm in einem definiertem Zeitinterval (zwischen $t_1$ und $t_2$). Für die Drehbewegung ist es analog die Fläche unter einem Drehmoment-Zeit-Diagramm in einem definiertem Zeitinterval (zwischen $t_1$ und $t_2$). Die Formel lautet:

;#; $\Delta{L} = \int_{t_1}^{t_2} \! M(t) \, \mathrm{d}t$ ;#;

Entfernt man das Zeitinterval, ergibt das eine weitere Formel zur Bestimmung des Drehimpulses:

;#; $L = \int \! M(t) \, \mathrm{d}t$ ;#;

Wie oben erwähnt handelt es sich bei dem Drehimpuls um eine Erhaltungsgröße. Das Drehimpulserhaltungsgesetz besagt, dass der Gesamtimpuls einer Drehbewegung erhalten bleibt, solange keine Kräfte von außen auf die Bewegung einwirken. Das heißt das Produkt aus Massenträgheitsmoment $I$ und der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ bleibt konstant (vgl. BioPrinz):

$I_1 * \omega_1 = I_2 * \omega_2$

Ein Beispielvideo:

Wir beobachten zuerst den Spin und am Ende den Übergang in die Pirouette. Was passiert dabei? Das Massenträgheitsmoment wird verringert und die Winkelgeschwindigkeit sichtlich erhöht. Das MTM und die Winkelgeschwindigkeit stehen in einem anti-proportionalem Verhältnis.

Welche Kräfte wirken eigentlich auf den Rotationskörper? Das hängt vom Beobachter ab. Beispiel: Eine Person hält ein Kind an beiden Händen fest und dreht sich, sodass das Kind im Kreis schleudert. Es gibt zwei Beobachter: Die Person, die das Kind schleudert und eine weitere außenstehende Person, die dem Schauspiel zusieht. Die Person, die das Kind festhält wird in etwa aussagen: „Das Kind hat ganz schön nach außen gezogen“ während die außenstehende Person feststellt: „Die Person in der Mitte hat das Kind festgehalten, sonst wäre es doch 'weggeflogen'“. Der Beobachter in einem rotierenden System nimmt die vom Zentrum nach außen gerichtete Zentrifugalkraft (auch Fliehkraft bezeichnet) wahr, während ein außenstehender Beobachter die zum Zentrum gerichtete Zentripetalkraft (auch Zentral-, Radial- oder Normalkraft bezeichnet) wahrnimmt.

Beispiel:

Abb.3: Radfahrer Zentrifugalkraft & Zentripetalkraft (Gressmann, 2002, Bild 74 - S. 84)

Das Bild zeigt einen Fahrradfahrer in der Kurve. Aus Fliehkraft ($F_F$) und Normalkraft ($F_N$) bilden sich die Drehmomente M ($F_F * h$ und $F_M * h$) um den Auflagepunkt A. Fliehkraft und Normalkraft gleichen sich aus, damit der Fahrer im Gleichgewicht bleibt.

Als Zusammenfassung zu diesem Kapitel dient die folgende Tabelle, die die Relationen zwischen den translatorischen und den rotatorischen Grundgrößen nochmals aufführt:

Alle Formeln finden sich auch unter der Formelsammlung wieder.

Beispiele, Übungen und Quiz

Weitere Beispiele, Übungen und ein Quiz finden sie unter den folgenden Links (BioPrinz):

• Beispiele
• Animationen
• Übungen
• Quiz

Tutorials

Zum Abschluss noch einmal die Tutorial-Reihe zum Kapitel DYN4:

<spoiler |1. Wodurch wird das Massenträgheitsmoment beeinflusst und in welchem Zusammenhang steht es mit der Winkelgeschwindigkeit?> Das Massenträgheitsmoment wird durch die Abstände der einzelnen Körperpunkte zur Drehachse beeinflusst. Je weiter einzelne Körperpunkte vom Drehmittelpunkt entfernt sind, desto größer ist es. Multipliziert man das Massenträgheitsmoment mit der Winkelgeschwindigkeit, erhält man den Drehimpuls. Das ist analog zum Impuls bei der Translation: Impuls = Masse * Geschwindigkeit. </spoiler>

<spoiler |2. Was ist der Unterschied zwischen dem Drehimpuls und dem Drehimpulsstoß?> Wie beim Unterschied zwischen Kraftstoß und Impuls, beschreibt der Drehimpulsstoß die zeitliche Änderung des Drehimpulses. </spoiler>

<spoiler |3. Worin unterscheidet sich das Drehmoment von der Kraft und wie trägt der Unterschied zum Drehmoment bei?> Das Drehmoment löst im Vergleich zur Kraft eine Rotation aus, die Kraft eine Translation. Dabei ist der Unterschied, dass das Drehmoment durch eine Kraft entsteht, die nicht durch den Masseschwerpunkt geht. Durch die dezentrale Krafteinwirkung kommt es zur Drehung. Den Abstand zum Masseschwerpunkt nennt man Hebelarm. Das Drehmoment entsteht also durch die wirkende Kraft multipliziert mit dem Hebelarm. </spoiler>

<spoiler |4. Welche Rolle ist für die Betrachtung von Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft wichtig?> Für die Betrachtung sind zwei Rollen wichtig, die des Beobachters des Systems von außen und die des im Systemmittelpunkt Stehenden. Der Beobachter von außen kann die Zentripetalkraft deutlich erkennen (Bsp. Hammerwerfer), sie entspricht der Kraft, die der Hammerwerfer aufbringen muss, um den Hammer im Kreis zu halten, er zieht den Hammer quasi zum Drehmittelpunkt. Der Hammerwerfer selbst nimmt die Zentrifugalkraft wahr, nämlich die Kraft, die ihn durch das Rotieren des Hammers nach außen zieht. </spoiler>

• IFS Lernplattform „Biomechanische Prinzipien im Sport“ (nach Hochmut) BioPrinz
• Gressmann, M. (2002). Fahrradphysik und Biomechanik (7. Aufage). Kiel: Moby Dick Verlag.
• Seyfarth, A. (2011). Grundlagen der Biomechanik. Teil B: Dynamik der Rotation. Präsentationsfolien im Rahmen des PS Biomechanik WS 2011/12. Darmstadt: Institut für Sportwissenschaften.

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