Im Folgenden werden die Bewegungsgleichungen für die drei Laufmodelle aufgezeigt.

Für das Laufen erfolgt eine Unterteilung in die Flugphase und Kontaktphase. Im Gegensatz zum Gehen heben die Beine während der Flugphase vom Boden ab und als alleinige Kraft wirkt lediglich die Erdanziehung. In vektorieller Schreibweise lässt sich die Gravitationskraft wie folgt berechnen:

$\vec{F}_G=m* \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix}$

Für die Kontaktphase ergibt sich folgende Gleichung:

$\vec{F}_{BEIN} =k(L_0-L) * \begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}$

Nach einigen Umformungsschritten ergibt sich folgender Ausdruck für die Beinkraft:

$\vec{F}_{BEIN} =k(\frac{L_0}{\sqrt{x^2+y^2}}-1)* \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$

Um ein tieferes Verständnis über die Herleitung der Bewegungsgleichung für das Laufen zu bekommen, empfiehlt es sich folgendes Tutorial anzuschauen:

Die Herleitung für die Bewegungsgleichung des moderaten Ganges beruht auf demselben Prinzip, wie beim Laufen.

$m*\begin{pmatrix} \ddot{ x} \\ \ddot{ y}\end{pmatrix}=\vec{F}_{BEIN LINKS}+\vec{F}_{GESAMT}+ \vec{F}_{BEIN RECHTS}$

Zunächst betrachtet man das linke und rechte Bein isoliert (single support). Da beim Gehen beide Beine in Kontakt mit dem Boden (double support) treten, ist eine Gesamtkraft $\vec{F}_{GESAMT}$ in die Gleichung mit aufzunehmen.

<imgcaption image1|Ein Gehschritt> </imgcaption>

$\vec{F}_{BEIN LINKS}= k(\frac{L_0}{\sqrt{x^2+y^2}}-1)*\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}-\vec{F}_G$

$\vec{F}_{GESAMT}=k(\frac{L_0}{\sqrt{x^2+y^2}}-1)*\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -k (d-x) \\ k y \end{pmatrix}*(\frac{L_0}{\sqrt{(d-x)^2+y^2}}-1) -\vec{F}_G$

$\vec{F}_{BEIN RECHTS}= \begin{pmatrix} -k (d-x) \\ k y \end{pmatrix}*(\frac{L_0}{\sqrt{x^2+y^2}}-1)-\vec{F}_G$

<imgcaption image2|Beschriftungen für das serielle Laufmodell> </imgcaption>

$E_{KIN}=\frac{m}{2}(\dot{v}^2+r^2 \dot{\phi}^2)$

$E_{POT}=mgr*sin(\phi)+\frac{k_1}{2}(L_{0;1}-(r-x_2))^2+\frac{k_2}{2}(L_{0;2}-x_2)^2$

$r := m*\ddot{r}+ mg*sin(\phi)-k_1(L_{0;1}-(r-x_2))- mr \dot{\phi}^2=F-d(\dot{v}- \dot{x_2})$

$\phi := mr^2 \ddot{\phi}+2m\dot{\alpha}r\dot{r}+mgr*cos(\phi)=0$

$x_2 := k_1(L_{0;1}-(r-x_2))+F+d(\dot{x}_2 - \dot{r})=k_2(L_{0;2}-x_2)$